Пятнадцатиугольник

Пятнадцатиугольник — многоугольник с пятнадцатью сторонами.

Правильный пятнадцатиугольник

Правильный пятнадцатиугольник представлен символом Шлефли {15}.

Правильный пятнадцатиугольник имеет внутренние углы 156°. Со стороной a пятнадцатиугольник имеет площадь, задаваемую формулой

\begin{matrix} A = \frac{15}{4} a^{2} c t g \frac{π}{15} & = \frac{15}{4} \sqrt{7 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{15 + 6 \sqrt{5}}} a^{2} \\ = \frac{15 a^{2}}{8} (\sqrt{3} + \sqrt{15} + \sqrt{2} \sqrt{5 + \sqrt{5}}) \\ ≃ 17.642362910544204 a^{2} . \end{matrix}

Использование

Правильный треугольник, десятиугольник и пятнадцатиугольник могут полностью закрыть вершину на плоскости.

Построение

Поскольку 15 = 3 × 5 является произведением различных простых чисел Ферма, правильный пятнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: Следующие построения правильного пятнадцатиугольника с заданной описывающей окружностью аналогично иллюстрации для утверждения XVI в книге IV Начал ЕвклидаШаблон:Sfn.

Сравнение построения с построением Евклида см. на рисунке Пятнадцатиугольник

В построении для заданной описывающей окружности: $\overline{F G} = \overline{C F}, \overline{A H} = \overline{G M}, | E_{1} E_{6} |$ равна стороне равностороннего треугольника, а $| E_{2} E_{5} |$ равна стороне правильного пятиугольникаШаблон:Sfn. Точка $H$ делит радиус $\overline{A M}$ в пропорции золотого сечения: $\frac{\overline{A H}}{\overline{H M}} = \frac{\overline{A M}}{\overline{A H}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = Φ \approx 1, 618 .$

Сравнение с первой анимацией (с зелёными прямыми) приведено на следующих двух рисунках. Две дуги (для углов 36° и 24°) смещены против часовой стрелки. Построение не использует отрезок $\overline{C G}$ , а вместо него использует отрезок $\overline{M G}$ как радиус $\overline{A H}$ для второй дуги (угол 36°).

Построение с помощью циркуля и линейки для заданной длины стороны. Построение почти такое же, что и для построения пятиугольника по заданной стороне, оно также начинается с создания отрезка как продолжения стороны, здесь $\overline{F E_{2}},$ , который делится в пропорции золотого сечения:

$\frac{\overline{E_{1} E_{2}}}{\overline{E_{1} F}} = \frac{\overline{E_{2} F}}{\overline{E_{1} E_{2}}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = Φ \approx 1.618033988749895 .$

Радиус описанной окружности

\overline{E_{2} M} = R;

Длина стороны

\overline{E_{1} E_{2}} = a;

Угол

D E_{1} M = M E_{2} D = 7 8^{\circ}

$\begin{matrix} R & = a \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} + \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8 + 2 \cdot \sqrt{5} + 2 \sqrt{15 + 6 \cdot \sqrt{5}}} \cdot a \\ = \frac{\sin (7 8^{\circ})}{\sin (2 4^{\circ})} \cdot a \approx 2.4048671723720654 \cdot a \end{matrix}$

Шаблон:Multiple image Шаблон:Clear

Симметрия

Правильный пятнадцатиугольник имеет диэдральную симметрию порядка 30 (Dih₁₅), представленную 15 прямыми зеркального отражения. Dih₁₅ имеет 3 диэдральные подгруппы: Dih₅, Dih₃ и Dih₁. А кроме того, ещё четыре циклические симметрии — Z₁₅, Z₅, Z₃ и Z₁, где Z_n представляет π/n вращательную симметрию.

В пятнадцатиугольнике имеется 8 различных симметрий. Джон Конвей обозначил симметрии буквами с указанием порядка симметрии после буквыШаблон:Sfn. Он обозначил через r30 полную симметрию отражений Dih₁₅, обозначил через d (diagonal = диагональ) отражения относительно прямых, проходящих через вершины, через p отражения относительно прямых, проходящих через середины рёбер (perpendicular = перпендикуляр), а для пятнадцатиугольника с нечётным числом вершин использовал букву i (для зеркал через вершину и середину ребра) и букву g для циклической симметрии. Символ a1 означает отсутствие симметрии.

Эти низкие степени симметрий определяют степени свободы в определении неправильных пятнадцатиугольников. Только подгруппа g15 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как обладающая ориентированными рёбрами. Шаблон:Clear

Пентадекаграммы

Существует три правильных звезды: {15/2}, {15/4}, {15/7} на тех же самых 15 вершинах правильного пятнадцатиугольника, но соединённых через одну, через три или через шесть вершин.

Есть также три правильных Шаблон:Не переведено 5: {15/3}, {15/5}, {15/6}, первая состоит из трёх пятиугольников, вторая состоит из пяти правильных треугольников, а третья состоит из трёх пентаграмм.

Составную фигуру {15/3} можно рассматривать как двухмерный эквивалент трёхмерного соединения пяти тетраэдров.

Picture	{15/2} Шаблон:CDD	{15/3} or 3{5}	{15/4} Шаблон:CDD	{15/5} or 5{3}	{15/6} or 3{5/2}	{15/7} Шаблон:CDD
Шаблон:Не переведено 5	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Более глубокие усечения правильного пятнадцатиугольника и пентадекаграмм могут дать изогональные (вершинно транзитивные) промежуточные звёздчатые многоугольники, образованные вершинами, находящимися на одинаковом расстоянии, и двумя длинами рёберШаблон:Sfn.

Вершинно транзитивные функции на пятнадцатиугольнике
Квазирегулярные	Равноугольные	Квазирегулярные
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}