Концептуальные программы в физике

Концептуальные программы в физике — принятые в физике наиболее общие математические модели. Различные области физики имеют различные программы для моделирования состояний физических систем.

Классическая механика

Для простого случая одиночной частицы с массой m, движущейся вдоль одного измерения x и действующей на неё силой $F_i$, программа классической механики состоит в том, чтобы определить состояние $x:ℝ\to ℝ$ путём решения уравнения второго закона Ньютона,

$m{x}^{″}(t)=\sum _i{F}_i$,

для $x(t)$ задаются начальные условия как для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, обычно $x(0),x^{\prime }(0)\in ℝ$. Если силы консервативные, второй закон Ньютона принимает вид:

$m{x}^{″}(t)=\sum _i-\frac{\mathrm{d}{U}_i(x)}{\mathrm{d}x}$.

В 3 пространственных измерениях, состояние $𝐱:ℝ\to {ℝ}^3$ определяется путём решения уравнения второго закона Ньютона,

$m{𝐱}^{″}(t)=\sum _i{𝐅}_i$,

для $𝐱(t)$ с соответствующими начальными условиями, обычно $𝐱(0),{𝐱}^{\prime }(0)\in {ℝ}^3$. Для системы из N частиц, закон Ньютона применим к каждой частице, ограничивая её общее состояние

$𝐱:ℝ\to {ℝ}^{3N}$.

Точные решения существуют для многих важных систем. Для других систем применяют численные методы. Например, они были применены к большим системам, включая формирование Солнечной системы и планетарные атмосферы.

Другие формулировки

В лагранжевой механике для той же системы состояние $𝐪:ℝ\to {ℝ}^{3N}$ удовлетворяет принципу Гамильтона $\frac{\delta S}{\delta 𝐪(t)}=0$ где действие функционала определяется как

$S[𝐪]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(𝐪(t),\dot{𝐪}(t),t)\mathrm{d}t$.

В гамильтоновой механике с каноническими координатами $(𝐪,𝐩)$ и гамильтоновой функцией $\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$ состояние $𝐪:ℝ\to {ℝ}^{3N}$ определяется решением

${𝐪}^{\prime }(t)=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐩},{𝐩}^{\prime }(t)=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐪},\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=\frac{\partial ℒ}{\partial t}$.

Квантовая механика

Для одной частицы с массой m, двигающейся вдоль оси x, под действием скалярного потенциала$U(x,t)$, программа квантовой механики заключается в определении волновой функции $\psi :ℝ\to L_2({ℝ}^1,ℂ)$ где $\psi (x,t)$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=[\frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+U(x,t)]\psi (x,t)$

с учётом конкретных начальных условий, например $\psi (x,0)$ в $L_2({ℝ}^1,ℂ)$. Здесь, $L_2(X,E)$ обозначает подпространство L² или квадратично-интегрируемое подпространство пространства функций $f:X\to E$. В трёх измерениях со скалярным потенциалом $U(𝐱,t)$ состояние $\psi :ℝ\to L_2({ℝ}^3,ℂ)$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера,

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (𝐱,t)=[\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(𝐱,t)]\psi (𝐱,t)$

для соответствующих начальных условий, например $\psi (𝐱,0)$ в $L_2({ℝ}^3,ℂ)$. Строго говоря, пространство физически различных чистых состояний не является вышеупомянутым пространством L² но скорее лучом в проективном гильбертовом пространстве, что следует из теории представлений С*-алгебры. Были найдены точные решения для простых систем, таких как атом водорода, исключая гелий и более сложные атомы, в то время как существуют численные методы и применяются на молекулярном уровне.

Классический предел

Значения волновой функции координатного пространства выше являются координаты вектора состояния в координатном пространстве собственного базиса, выраженные как $\psi (𝐱,t)=⟨𝐱|\psi (t)⟩$. Временная эволюция вектора состояния порождается оператором Гамильтона $\hat{H}$, приводя к общему уравнению Шрёдингера $i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$, формальным решением которого является унитарный оператор временной эволюции $\hat{U}(t)$,

$|\psi (t)⟩=\hat{U}(t)|\psi (0)⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}|\psi (0)⟩$.

Расширение следующей амплитуды перехода даёт интеграл пути, взятый по всем путям $𝐲:ℝ\to {ℝ}^3$ из $𝐲(t_1)={𝐱}_1$ в $𝐲(t_2)={𝐱}_2$,

$⟨{𝐱}_2|\hat{U}(t_2-t_1)|{𝐱}_1⟩=⟨{𝐱}_2|e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}(t_2-t_1)}|{𝐱}_1⟩=\underset{𝐲(t_1)={𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}{\overset{𝐲(t_2)={𝐱}_2}{\int }}{e}^{\frac{i}{\hslash }𝒮[𝐲]}𝒟𝐲$,

и свёртка это с начальной волновой функцией даёт Лагранжеву формулировку квантовой механики через интегральную формулировку пути,

$\psi ({𝐱}_2,t_2)=\underset{{𝐱}_1}{\int }\underset{𝐲(t_1)={𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}{\overset{𝐲(t_2)={𝐱}_2}{\int }}{e}^{\frac{i}{\hslash }𝒮[𝐲]}𝒟𝐲\psi ({𝐱}_1,t_1)\mathrm{d}{𝐱}_1$.

В пределе $\hslash \to 0$ (т. е. как $\hslash /mc$ становится бесконечно меньше, чем характерная длина рассматриваемой области), относительный вклад пути $𝐲$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения, становится бесконечным, и следовательно $\hat{U}(t)$ будет транспортировать декогерентный волновой пакет, локализованный в ${𝐱}_1$ (напр. $\psi (𝐱,t_1)\approx \delta (𝐱-{𝐱}_1)$) по своему классическому пути без квантовых эффектов, порождая принцип Гамильтона и программу классической механики выше.

Квантовая теория поля

Для поля в пространственных измерениях d с массой m и значением в V программа из квантовой теории поля в теории можно получить волновой функционал $\mathrm{\Psi }:ℝ\to L_2({ℝ}^d\to V,ℂ)$ который удовлетворяет $i\hslash {\partial }_0\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot ),t]=\hat{H}\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot ),t]$ с

$\hat{H}=\int {\mathrm{d}}^{d}x[{\partial }_0\hat{\varphi }(𝐱)\hat{\pi }(𝐱)-ℒ[\hat{\varphi },\mathit{\partial }\hat{\varphi }]]$

учитывая подходящие начальные условия, гипотетически $\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot ),0]:L_2({ℝ}^d\to V,ℂ)$. Однако нахождение точного решения превосходит современные математические возможности для всех случаев, кроме распространения свободных частиц. На практике расчёты состоят из определения амплитуды рассеяния с помощью пертурбативных аппроксимаций или численного аппроксимирования соответствующих теорий поля на решётке.

Классический предел

Значения волнового функционала существуют в базисе операторов поля как $\mathrm{\Psi }[\varphi (\cdot ),t]=⟨\varphi (\cdot )|\mathrm{\Psi }(t)⟩$, где состояние удовлетворяет уравнению $i\hslash {\partial }_0|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩$. Расширение формального решения даёт интеграл пути, взятый по каждому пути в поле $\chi :ℝ\to V^{{ℝ}^d}$ из $\chi (t_1)={\varphi }_1$ в $\chi (t_2)={\varphi }_2$,

$⟨{\varphi }_2|e^{-i\hat{H}(t_2-t_1)/\hslash }|{\varphi }_1⟩=\underset{\chi (t_1)={\varphi }_1}{\overset{\chi (t_2)={\varphi }_2}{\int }}{e}^{\frac{i}{\hslash }𝒮[\mathit{\chi }]}𝒟\mathit{\chi }$

и свёртка этого с начальным волновым функционалом даёт

$\mathrm{\Psi }[{\varphi }_2,t_2]=\underset{{\varphi }_1}{\int }\underset{\chi (t_1)={\varphi }_1}{\overset{\chi (t_2)={\varphi }_2}{\int }}{e}^{\frac{i}{\hslash }𝒮[\mathit{\chi }]}𝒟\mathit{\chi }\mathrm{\Psi }[{\varphi }_1,t_1]𝒟{\varphi }_1$.

В пределе $\hslash \to 0$ относительный вклад пути поля $\chi$, который удовлетворяет классическим уравнениям движения поля, и ковариантная классическая теория поля восстанавливается.

Нерелятивистский предел

Каждое свободное квантовое поле $\hat{\varphi }$ может быть разложено с использованием его операторов рождения и уничтожения как

$\hat{\varphi }(x)=\hat{a}(x)+{\hat{b}}^{†}(x)=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{\sqrt{2\hslash {\omega }_{𝐩}}}\{{\hat{a}}_{𝐩}{e}^{-ip\cdot x/\hslash }+{\hat{b}}_{𝐩}{e}^{-ip\cdot x/\hslash }\}$,

где операторы рождения и аннигиляции импульсного пространства интегрируются, чтобы получить операторно-значное распределение $\hat{a}(x)$ и $\hat{b}(x)$, и связь между моментом и энергией даёт $(\hslash {\omega }_{𝐩}{)}^2=E^2={\left(m{c}^2\right)}^2+(pc{)}^2$. В нерелятивистском пределе $c\to \mathrm{\infty }$, таким образом получаем $\hslash {\omega }_{𝐩}\approx E\approx m{c}^2$ и фазу $e^{-i{\omega }_{𝐩}t}$ и измеряемую величину $(2\hslash {\omega }_{𝐩}{)}^{-1/2}$ множитель, приносящий

$\hat{a}(x)\to \frac{e^{-im{c}^{2}t/\hslash }}{\sqrt{2m{c}^2}}\hat{A}(x),\hat{b}(x)\to \frac{e^{-im{c}^{2}t/\hslash }}{\sqrt{2m{c}^2}}\hat{B}(x)$.

Следовательно, лагранжиан поля $L=(\hslash c{)}^2{\partial }_a\varphi {\partial }^a{\varphi }^{†}-(m{c}^2{)}^2\varphi {\varphi }^{†}$ сводится к

$L={\hat{A}}^{†}(i\hslash {\partial }_t+\frac{{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2}{2m})\hat{A}+{\hat{B}}^{†}(i\hslash {\partial }_t+\frac{{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2}{2m})\hat{B}+\text{h.c.}$

поскольку операторы рождения и аннигиляции диссоциируют и ведут себя как два отдельных поля Шрёдингера (представляющих частицу и античастицу), занятые состояния которых каждое независимо подчиняется уравнению Шрёдингера и дают программу квантовой механики частиц выше.

Другой способ

Другие способы могут столкнуться с проблемами при определении локализованных состояний частиц в представлении Гейзенберга и нерелятивистском пределе, $e^{im{c}^{2}t/\hslash }⟨𝐤|\hat{\varphi }(x)|0⟩$ (with $|𝐤⟩$ одночастичное состояние с импульсом $𝐤$) часто отождествляется с волновой функцией импульсного пространства, но оно не может быть локализовано. При попытке свести релятивистскую квантовую механику к нерелятивистской квантовой механике, хотя гамильтониан $H=({𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4{)}^{1/2}$ порождает Ньютон-вигнерский пропагатор и определяет скаляр Лоренца $\psi$, к сожалению этот пропагатор не является инвариантом Лоренца.