Определение предела в терминах эпсилон и дельта

Если точка x отклоняется менее чем на $\delta$ от значения c, f(x) отклоняется не более чем на $\epsilon$ от L

Определение предела в терминах $\epsilon$ и $\delta$ («эпсилон–дельта-определение предела») — это формализация понятия предела. Концепция принадлежит Огюстену Луи Коши, который не дал формальное определение предела в терминах $\epsilon$ и $\delta$ в своём труде Шаблон:Не переведено 5, хотя использовал время от времени $\epsilon$ и $\delta$ в доказательствах. Первым дал формальное определение Бернард Больцано в 1817 году, а современную формулировку дал Карл ВейерштрассШаблон:SfnШаблон:Sfn. Он дал точную формулировку следующему неформальному определению: зависимое выражение $f(x)$ стремится к значению Шаблон:Mvar при стремлении переменной Шаблон:Mvar к значению Шаблон:Mvar, если значение $f(x)$ можно сделать сколь угодно близким к значению Шаблон:Mvar путём выбора Шаблон:Mvar достаточно близкого к Шаблон:Mvar.

История

Несмотря на то, что греки сталкивались со сходимостью, например, в Шаблон:Не переведено 5 вычисления квадратных корней, у них не было концепции, подобной современному понятию пределаШаблон:Sfn. Необходимость концепции предела возникла в 1600-х годах, когда Пьер Ферма пытался найти угловой коэффициент касательной в точке $x$ к графику функции, такой как $f(x)=x^2$. Используя ненулевую, но очень малую, почти нулевую величину $E$, Ферма сделал следующие вычисления:

$\begin{array}{cc}\text{наклон}& =\frac{f(x+E)-f(x)}{E}\\ & =\frac{(x+E{)}^2-x^2}{E}\\ & =\frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E}\\ & =\frac{2xE+E^2}{E}=2x+E=2x.\end{array}$

Ключевым фактом вышеприведённых вычислений является ненулевое значение $E$, а тогда можно делить $f(x+E)-f(x)$ на $E$. Однако из-за того, что $E$ близок к 0, выражение $2x+E$, фактически, равно $2x$Шаблон:Sfn. Величины, подобные $E$, называются бесконечно малыми. Проблема в этом вычислении заключается в том, что математики той эпохи были не в состоянии точно определить величины со свойствами $E$Шаблон:Sfn, хотя общей практикой было пренебрегать высокими степенями бесконечно малых величин, и эта практика давала корректные результаты.

Проблема возникла в конце 1600-х годов при развитии математического анализа, когда вычисления, такие как у Ферма, становятся важными для вычисления производных. Исаак Ньютон первым разработал анализ с помощью бесконечно малых величин, которые называл Шаблон:Не переведено 5. Он развивал свой метод, имея в виду идею «бесконечно маленького момента времени...»Шаблон:Sfn. Позднее, Ньютон отказался от флюксий в пользу теории пропорций, которая ближе к современному определению предела $\epsilon \text{–}\delta$Шаблон:Sfn․ Более того, Ньютон отдавал себе отчёт, что предел отношения стремящихся к нулю величин не является самим отношением пределов. Он писал:

Это предельные отношения не являются фактическими отношениями предельных величин, а являются пределами, которые могут быть достигнуты ближе, чем любая заданная величина...

Дополнительно, Ньютон время от времени объяснял предел в терминах, похожих на $\epsilon \text{–}\delta$ определениеШаблон:Sfn. Готфрид Вильгельм Лейбниц развивал собственные бесконечно малые и пытался обеспечить для них строгую основу, но его идеи были встречены с тревогой некоторыми математиками и философамиШаблон:Sfn.

Огюстен Луи Коши дал определение предела в терминах более примитивного понятия, которое он назвал переменной величиной. Он никогда не давал определение предела в терминах $\epsilon \text{–}\delta$ (Grabiner 1981). Некоторые из доказательств Коши содержат признаки $\epsilon \text{–}\delta$ метода. Может ли его подход считаться предвестником подхода Вейерштрасса — предмет научной дискуссии. Существует мнение, что Коши и Вейерштрасс дали одно и то же имя различным понятиям пределаШаблон:Sfn.

Со временем Вейерштрасс и Больцано были признаны как давшие твёрдую опору для математического анализа в виде современного $\epsilon \text{-}\delta$ определения пределаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Необходимость ссылки на бесконечно малую величину $E$ исчезлаШаблон:Sfn, и вычисления Ферма превратились в следующий предел:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Нельзя сказать, что определение свободно от проблем, и, хотя оно и дало возможность избавиться от бесконечно малых величин, позже для него потребовалось построение вещественных чисел Рихарда Дедекинда Шаблон:Sfn. Нельзя также сказать, что бесконечно малых нет в современной математике, поскольку математики смогли создать бесконечно малые величины как часть систем гипервещественных чисел или сюрреальных чисел. Более того, можно строго развивать математический анализ с такими величинами, и они имеют другие использования в математикеШаблон:Sfn.

Неформальное утверждение

Возможным неформальным (то есть интуитивным или приблизительным) определением является: «функция $f$ стремится к пределу Шаблон:Mvar близ точки Шаблон:Mvar (в символьном виде, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$), если можно сделать значение функции Шаблон:Math сколь угодно близким к Шаблон:Mvar путём выбора Шаблон:Mvar достаточно близко к (но исключая) Шаблон:Mvar»Шаблон:Sfn.

Когда говорится, что две величины близки (как Шаблон:Math и Шаблон:Mvar, или Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar), имеется в виду, что расстояние между ними мало. Если Шаблон:Math, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar являются вещественными числами, расстояние между двумя числами равны абсолютной величине разности двух величин. Таким образом, когда говорится, что Шаблон:Math близко к Шаблон:Mvar, имеется в виду, что $|f(x)-L|$ мало. Когда говорится, что Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar близки, имеется в виду, что $|x-a|$ малоШаблон:Sfn.

Когда говорится, что можно сделать значение функции Шаблон:Math сколь угодно близким к Шаблон:Mvar, имеется в виду, что для всех ненулевых расстояний $\epsilon$ можно обеспечить расстояние между Шаблон:Math и Шаблон:Mvar меньше, чем $\epsilon$Шаблон:Sfn.

Когда говорится, что можно сделать значение функции Шаблон:Math сколь угодно близким к Шаблон:Mvar путём требования к Шаблон:Mvar быть достаточно близким к Шаблон:Mvar, но не равным Шаблон:Mvar, имеется в виду, что для любого ненулевого расстояния $\epsilon$ существует ненулевое расстояние $\delta$, такое, что если расстояние между Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar меньше $\delta$, то расстояние между Шаблон:Math и Шаблон:Mvar меньше $\epsilon$Шаблон:Sfn.

Неформальный/интуитивный аспект, используемый здесь, заключается в том, что определение требует следующего внутреннего рассуждения (которое обычно перефразируется на языке например «когда противник/соперник атакует вас с $\epsilon$, вы защищаетесь величиной $\delta$»): кто-то даёт испытательную величину $\epsilon >0$ для заданной функции $f$, точки Шаблон:Mvar и предела Шаблон:Mvar. Нужно ответить величиной $\delta >0$, такой что из $0<|x-a|<\delta$ следует $|f(x)-L|<\epsilon$. Если можно обеспечить ответ на любую испытательную величину, то предел существуетШаблон:R.

Точное утверждение и связанные утверждения

Точное утверждение для вещественных функций

Определение в терминах $(\epsilon ,\delta )$ предела функции следующееШаблон:Sfn:

Пусть $f$ будет вещественной функцией, определённой на подмножестве $D$ вещественных чисел. Пусть $c$ будет предельной точкой множества $D$ и пусть $L$ будет вещественным числом. Говорится, что

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,$

если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$, такое, что для всех $x\in D$, если $0<|x-c|<\delta$, то $|f(x)-L|<\epsilon$Шаблон:R.

В символическом виде:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺(\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in D,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ).$

Если $D=[a,b]$ или $D=ℝ$, условие, что $c$ является предельной точкой, может быть заменено на более простое условие, что c принадлежит D, поскольку замкнутые вещественные интервалы и вся вещественная ось являются совершенными множествами.

Точное утверждение для функций между метрическими пространствами

Определение можно обобщить на функции, отображающие метрическое пространство в другое метрическое пространство. Эти пространства приходят с функцией, называемой метрикой, которая берёт две точки пространства и возвращает вещественное число, представляющее расстояние между этими двумя точкамиШаблон:Sfn. Обобщённое определениеШаблон:Sfn:

Предположим, что функция $f$ определена на подмножестве $D$ метрического пространства $X$ с метрикой $d_X(x,y)$ и отображает его в метрическое пространство $Y$ с метрикой $d_Y(x,y)$. Пусть $c$ будет предельной точкой множеств $D$, а $L$ будет точкой пространства $Y$.

Мы говорим, что

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,$

если для любого $\epsilon >0$ существует $\delta$, такой что для всех $x\in D$ из $0<d_X(x,c)<\delta$ следует $d_Y(f(x),L)<\epsilon$.

Поскольку $d(x,y)=|x-y|$ является метрикой на вещественных числах, можно показать, что это определение обобщает первое определение для вещественных функцийШаблон:Sfn.

Отрицание точного утверждения

Логическое отрицание определения следующееШаблон:Sfn:

Предположим, что функция $f$ определена на подмножестве $D$ метрического пространства $X$ с метрикой $d_X(x,y)$ и отображает его в метрическое пространство $Y$ с метрикой $d_Y(x,y)$. Пусть $c$ будет предельной точкой множества $D$ и пусть $L$ будет точкой в пространстве $Y$.

Мы говорим, что

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)\ne L,$

если существует $\epsilon >0$, такой, что для всех $\delta >0$ существует $x\in D$, такой, что $0<d_X(x,c)<\delta$ и $d_Y(f(x),L)>\epsilon$.

Мы говорим что $\underset{x\to c}{\lim }f(x)$ не существует, если для всех $L\in Y\underset{x\to c}{\lim }f(x)\ne L$.

Для отрицания утверждения для вещественных функций, определённых на вещественных числах, просто берём $d_Y(x,y)=d_X(x,y)=|x-y|$.

Точное утверждение для предела на бесконечности

Точное определение для предела на бесконечности следующее:

Пусть функция $f$ будет вещественной функцией, определённо на подмножестве $D$ множества вещественных чисел, и это подмножество содержит произвольно большие числа. Мы говорим, что

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L,$

если для любого $\epsilon >0$ существует вещественное число $N>0$, такое, что для всех $x\in D$ из условия $x>N$ вытекает $|f(x)-L|<\epsilon$Шаблон:Sfn.

Можно дать аналогичное определение и для произвольных метрических пространств.

Примеры

$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0.$

Пусть значение $\epsilon >0$ задано. Нам нужно найти $\delta >0$, такой, что из $|x-0|<\delta$ следует $|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|<\epsilon$.

Поскольку синус ограничен сверху величиной 1, а снизу величиной −1,

$\begin{array}{cc}|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|& =|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)|=|x||\sin \left(\frac{1}{x}\right)|⩽|x|.\end{array}$

Таким образом, если мы примем $\delta =\epsilon$, то из $|x|=|x-0|<\delta$ следует $|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|⩽|x|<\epsilon$, что завершает доказательство.

Пример 2

Докажем, что

$\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2$

для любого вещественного числа $a$.

Пусть значение $\epsilon >0$ задано. Мы найдём $\delta >0$, такой, что из $|x-a|<\delta$ следует $|x^2-a^2|<\epsilon$.

Начнём с разложения на множители:

$|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.$

Понимаем, что множитель $|x-a|$ ограничен величиной $\delta$, так что мы предполагаем границу 1 и впоследствии можем выбрать что-то меньшее $\delta$Шаблон:Sfn

Таким образом, мы полагаем $|x-a|<1$. Поскольку $|x|-|y|⩽|x-y|$ выполняется для вещественных чисел $x$ и $y$, мы имеем

$|x|-|a|⩽|x-a|<1.$

А тогда,

$|x|<1+|a|.$

Согласно неравенству треугольника,

$|x+a|⩽|x|+|a|<2|a|+1.$

Если теперь предположить, что

$|x-a|<\frac{\epsilon }{2|a|+1}$

получим

$|x^2-a^2|<\epsilon .$

Выберем

$\delta =\min \{1,\frac{\epsilon }{2|a|+1}\}.$

Теперь, если $|x-a|<\delta$, получаем

$\begin{array}{cc}|x^2-a^2|& =|x-a||x+a|<\frac{\epsilon }{2|a|+1}(|x+a|)<\frac{\epsilon }{2|a|+1}(2|a|+1)=\epsilon .\end{array}$

Таким образом, мы нашли $\delta$, такой, что из $|x-a|<\delta$ следует $|x^2-a^2|<\epsilon$. Тем самым мы показали, что

$\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2$

для любого вещественного числа $a$.

Пример 3

Докажем, что

$\underset{x\to 5}{\lim }(3x-3)=12.$

Используя графическое понимание предела, можно подвести строгую основу для введения в доказательство. Так, согласно формальному определению, приведенному выше, утверждение о пределе верно тогда и только тогда, когда ограничение отклонения $x$ на величину $\delta$ от точки $c$ неминуемо ограничивает отклонение $f(x)$ от $L$ до величины $\epsilon$ (см. иллюстрацию в начале статьи). В данном случае это означает, что утверждение верно тогда и только тогда, когда ограничиваем отклонение $x$ на $\delta$ от значения 5 неизбежно ограничивает

$3x-3$

на $\epsilon$ от значения 12. Чтобы показать это, нужно продемонстрировать, как $\delta$ и $\epsilon$ должны быть связаны, чтобы требование выполнялось. Мы хотим показать математически, что

$0<|x-5|<\delta \Rightarrow |(3x-3)-12|<\epsilon .$

Подводя общие члены, вынося константу 3 и деля на неё в правой части импликации, получаем

$|x-5|<\epsilon /3,$

что немедленно даёт требуемый результат, если выберем

$\delta =\epsilon /3.$

Таким образом, доказательство завершено. Ключевой момент доказательства заключается в возможности выбора границ $x$, а потом в возможности перейти к соответствующим границам $f(x)$. В нашем случае это было связано с множителем 3, который появляется как следствие коэффициента наклона 3-й прямой.

$y=3x-3.$

Непрерывность

Говорят что функция f непрерывна в точке c, если она определена в c и её значение в c равно пределу f при стремлении x к c:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c).$

$(\epsilon ,\delta )$-определение непрерывной функции можно получить из определения предела путём замены $0<|x-c|<\delta$ на $|x-c|<\delta$, чтобы обеспечить, что f определена в c и это значение совпадает с пределом.

Говорят, что функция f непрерывна на интервале I, если она непрерывна в любой точке c интервала I.

Сравнение с определением через бесконечно малые

Шаблон:Не переведено 5 доказал, что гипервещественное Шаблон:Не переведено 5 уменьшает сложность по кванторам на два квантораШаблон:Sfn. А именно, $f(x)$ сходится к пределу L при стремлении $x$ к a тогда и только тогда, когда значение $f(x+e)$ бесконечно близко к L для любого бесконечно малого e. (См. Шаблон:Не переведено 5 для связанных определений непрерывности, фактически принадлежащих Коши.)

Учебники, по исчислению бесконечно малых, основанные на подходе Робинсона, дают определения непрерывности, производной и интеграла в терминах бесконечно малых величин. Когда понятия, такие как непрерывность, всесторонне объяснены через микронепрерывность, подход эпсилон–дельта также представляется. Карел Хрбачек считает, что определения непрерывности, производной и интегрирования в стиле нестандартного анализа Робинсона должны основываться на методе $\epsilon -\delta$, чтобы покрыть также нестандартные входные значенияШаблон:Sfn. Блащик возражает, считая, что Шаблон:Не переведено 5 полезна при разработке прозрачного определения равномерной непрерывности и считает критицизм Хрбачека «неясными жалобами»Шаблон:Sfn. Хрбачек предлагает альтернативный нестандартный анализ, который (в отличие от анализа Робинсона) имеет несколько «уровней» бесконечно малых величин, так что пределы на одном уровне могут быть определены в терминах бесконечно малых величин следующего уровняШаблон:Sfn.

См. также

• Непрерывное отображение
• Предел последовательности
• Теорема о двух милиционерах

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
  • Перевод:Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Перевод: Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Дополнительная литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга