Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу $A$, что $\mathrm{\forall }i,j:a_{ij}=a_{ji}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

$A=A^T$

Примеры

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 3& 2& 6\\ 0& 6& 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\end{array}\right)$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

$Av={\lambda }_{1}v,Aw={\lambda }_{2}w,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2⟹v^{T}w=0$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: $A=QD{Q}^T$, где $Q$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение $\lambda$, то она имеет диагональный вид: $A=\lambda E$, где $E$ — единичная матрица, в любом базисе.
• Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, т. е.

$A=A^{\mathrm{T}}⟹X^{\mathrm{T}}AX=(X^{\mathrm{T}}AX{)}^{\mathrm{T}}.$

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица $A$ размерностью $k\times k$ называется положительно определённой если $\mathrm{\forall }z\in {ℝ}^k\setminus \{\mathrm{𝟎}\}$ выполняется $z^{T}Az>0.$
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

См. также

• Персимметричная матрица
• Транспозиционная матрица
• Матрица Лемера

Литература

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — Шаблон:М: Мир, 1969 (djvu).
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — Шаблон:М: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — Шаблон:М: Наука, 1966 (djvu).
3. Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — Шаблон:М: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — Шаблон:М: Наука, 1968. — 432 с.