Плоскость

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматическиШаблон:Sfn.

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — бесконечно большая поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две различные плоскости либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Плоскость и два её нормальных вектора: n₁ и n₂

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

$Ax+By+Cz+D=0(1)$

где $A,B,C$ и $D$ — постоянные, причём $A,B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(𝐫,𝐍)+D=0$

где $𝐫$ — радиус-вектор точки $M(x,y,z)$, вектор $𝐍=(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $𝐍$:

$\cos \alpha =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma =\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через начало координат, при $A=0$ (или $B=0$, $C=0$) плоскость параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$ или $Oz$). При $A=B=0$ ($A=C=0$, или $B=C=0$) плоскость параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$).

• Уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$

где $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox,Oy$ и $Oz$.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0,y_0,z_0)$ ,перпендикулярной вектору нормали $𝐍(A,B,C)$:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$

в векторной форме:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}),𝐍)=0.$

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(x_i,y_i,z_i)$, не лежащие на одной прямой:

$((𝐫-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}),({𝐫}_{\mathrm{𝟐}}-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}),({𝐫}_{\mathrm{𝟑}}-{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0.$

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0(2)$

в векторной форме:

$(𝐫,{𝐍}^{\mathrm{𝟎}})\mathbf{-}𝐩=0,$

где ${𝐍}^{\mathrm{𝟎}}$- единичный вектор, $p$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(знаки $\mu$ и $D$ противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, $r_0$ является радиусом-вектором точки $P_0$, заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка $P$ с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от $P_0$ к $P$, перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

$𝐧\cdot (𝐫-{𝐫}_0)=0.$ (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

$n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0,$

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости $P(2,6,-3)$ и вектор нормали $N(9,5,2)$.

Уравнение плоскости записывается так:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ от плоскости заданной нормированным уравнением $(2)$

$\delta =x_1\cos \alpha +y_1\cos \beta +z_1\cos \gamma -p;$

$\delta >0$,если $M_1$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае $\delta <0$. Расстояние от точки до плоскости равно $|\delta |.$

• Расстояние $\rho$ от точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$, до плоскости, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0$, вычисляется по формуле:

$\rho =\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\mid }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$:

$d=\frac{\mid D_2-D_1\mid }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $\overline{n}(\overline{r}-\overline{r_1})=0$ и $\overline{n}(\overline{r}-\overline{r_2})=0$:

$d=\frac{\mid [{\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1,\overline{n}]\mid }{\mid \overline{n}\mid }$

Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E₃ проходит через линию пересечения плоскостей E₁ и E₂, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

$\cos \phi =\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2)(A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$

Если в векторной форме, то

$\cos \phi =\frac{({𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}})}{|{𝐍}_{\mathrm{𝟏}}||{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}|}.$

• Плоскости параллельны, если

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ или $[{𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}}]=0.$ (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$ или $({𝐍}_{\mathrm{𝟏}},{𝐍}_{\mathrm{𝟐}})=0$. (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет видШаблон:Rp:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,$

где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостейШаблон:Rp. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

$\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_3)=0,$

где $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой. В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные, аффинные, гиперболические и эллиптические плоскости.

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство $K^n(V,P)$, над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат $O,\overrightarrow{e_1},...,\overrightarrow{e_n}$. m-плоскостью называется множество точек $\alpha$, радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}\overrightarrow{t_m}+\overrightarrow{d}\}.$ $A_{nm}$ — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, $\overrightarrow{t}$ — вектор переменных, $\overrightarrow{d}$ — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
$x=\overrightarrow{a_1}{t}_1+\dots +\overrightarrow{a_m}{t}_m+d,\overrightarrow{a_i}\in V$ — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора $\overrightarrow{a_i}$ образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости $\alpha ,\beta$ называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и $\mathrm{\exists }x\in \alpha :x\notin \beta$.

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть $\overrightarrow{n}$ — нормальный вектор плоскости, $\overrightarrow{r}=(x^1,...,x^n)$ — вектор переменных, $\overrightarrow{r_0}$ — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0},\overrightarrow{n})=0$ — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: $\det (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}|A_{n,n-1})=0$, или:
$\left|\begin{array}{ccccc}{x}^1-x_0^1& a_1^1& a_2^1& ...& a_{n-1}^1\\ x^2-x_0^2& a_1^2& a_2^1& ...& a_{n-1}^2\\ ...& ...& ...& ...\\ x^n-x_0^n& a_1^n& a_2^n& ...& a_{n-1}^n\end{array}\right|=0$.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: $\alpha =\{a_x,a_y,a_z\}t+\{b_x,b_y,b_z\}$. В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга