Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование $A$ евклидова пространства $L$, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов $x,y\in L$ выполняется равенство

$⟨A(x),A(y)⟩=⟨x,y⟩,$

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение $⟨x,y⟩$ в пространстве $L$.

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования $A$ является равенство

  $A^{*}=A^{-1},(*)$

где $A^{*}$ — сопряжённое, а $A^{-1}$ — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы $A$ является равенство (*), где $A^{*}$ — транспонированная, а $A^{-1}$ — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны $1$, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы $\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$ равны $\cos \phi \pm i\cdot \sin \phi$, а собственные векторы равны $\left(\begin{array}{c}1\\ \mp i\end{array}\right)$.
• Определитель ортогонального преобразования равен $1$ (собственное ортогональное преобразование) или $-1$ (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном $n$-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол $\phi$, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

$\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right).$

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ \sin \phi & -\cos \phi \end{array}\right).$

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

$\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ \sin \phi & -\cos \phi \end{array}\right).$

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема: Шаблон:Рамка Для каждого ортогонального преобразования $A:L\to L$ евклидова $n$-мерного пространства $L$ справедливо такое разложение

$L=L_1\oplus L_{-1}\oplus M_{{\phi }_1}\oplus \dots \oplus M_{{\phi }_k},$

где все подпространства $L_1,$ $L_{-1}$ и $M_{{\phi }_i}$ попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования $A$, причём:

• ограничение $A$ на $L_1$ есть $E$ (тождественное преобразование),
• ограничение $A$ на $L_{-1}$ есть $-E$,
• все пространства $M_{{\phi }_i}$ двумерны (плоскости), и ограничение $A$ на $M_{{\phi }_i}$ есть поворот плоскости $M_{{\phi }_i}$ на угол ${\phi }_i$.

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом: Шаблон:Рамка Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица $A$ имеет блочно-диагональный вид:

$A=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & 0& & \\ & & 1& & & & & & \\ & & & -1& & & & & \\ & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & -1& & & \\ & & & & & & A_{{\phi }_1}& & \\ & & 0& & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & A_{{\phi }_k}\end{array}\right),$

где $A_{{\phi }_i}$ — матрица поворота на угол ${\phi }_i$ (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства $L_1$ и число минус единиц равно размерности подпространства $L_{-1}$. Шаблон:Конец рамки Такая запись матрицы $A$ ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

• Ортогональная матрица
• Дискретное ортогональное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.