Факториал

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от Шаблон:Lang-lat — действующий, производящий, умножающий; обозначается $n!$, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа $n$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительноШаблон:Sfn:

$n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k$.

Например,

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$.

Для $n=0$ принимается в качестве соглашенияШаблон:Sfn, что:

$0!=1$.

Факториалы всех чисел составляют Шаблон:OEIS

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	Шаблон:Gaps
8	Шаблон:Gaps
9	Шаблон:Gaps
10	Шаблон:Gaps
11	Шаблон:Gaps
12	Шаблон:Gaps
13	Шаблон:Gaps
14	Шаблон:Gaps
15	Шаблон:Gaps
16	Шаблон:Gaps
17	Шаблон:Gaps
18	Шаблон:Gaps
19	Шаблон:Gaps
20	Шаблон:Gaps
21	51 090 942 171 709 440 000
22	1 124 000 727 777 607 700 000

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция $n^n$ растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например $e^{e^n}$.

Свойства

Рекуррентная формула

Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулойШаблон:Sfn:

$n!=\{\begin{array}{cc}1& n=0,\\ n\cdot (n-1)!& n>0.\end{array}$

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа Шаблон:Math интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из Шаблон:Math элементов.

Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения $0!=1$ — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из $n$ элементов по $m$

$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

при $n=m$ обращается в формулу для числа перестановок из $n$ элементов (порядка $n$), которое равно $n!$.

Также из формулы включений-исключений следует данная формула для факториала:

$\sum _{n=0}^N{(-1)}^{N-n}{n}^N{C}_N^n=N!$

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при $n=-1,-2,-3\dots$.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция $\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)$, которая при $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>-1$ может быть определена как

$\mathrm{\Pi }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^z{e}^{-t}\mathrm{d}t$ (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: $\mathrm{\Pi }(n)=n!$. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению $\mathrm{\Pi }(z)=z\mathrm{\Pi }(z-1)$.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\frac{163879}{209018880n^5}+\frac{5246819}{75246796800n^6}+O\left(n^{-7}\right)),$

см. O-большое.

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

При этом можно утверждать, что

$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{1/(12n+1)}<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{1/(12n)}.$

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что:

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659

Разложение на простые множители

Каждое простое число Шаблон:Math входит в разложение Шаблон:Math на простые множители в степени определяемой следующей формулой:

$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^3}\rfloor +\dots .$

Таким образом,

$n!=\prod _p{p}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\dots },$

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого Шаблон:Math большего Шаблон:Math соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым Шаблон:Math, не превосходящим Шаблон:Math.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа Шаблон:Math:

${\left(x^n\right)}^{(n)}=n!$

Например:

${\left(x^5\right)}^{(5)}={(5\cdot x^4)}^{(4)}=(5\cdot 4\cdot x^3)=(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^2)=(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x)=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5!$

Другие свойства

Для натурального числа $n$:

$n{!}^2⩾n^n⩾n!⩾n$

Для любого $n>1$:

$n!$ не является квадратом целого числа;

Для любого $n>4$:

$n!$ оканчивается на 0;

Для любого $n>9$:

$n!$ оканчивается на 00.

Если $n$ простое число:

$(n-1)!+1$ делится на $n$ (теорема Вильсона)

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение $n!$ предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (Шаблон:Lang-lat, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента $\sqrt{2\pi }$ была неопределённая константа).

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

$\left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение:

$x!=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}$

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Шаблон:Перенаправление Двойной факториал числа Шаблон:Math обозначается Шаблон:Math и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,Шаблон:Math], имеющих ту же чётность, что и Шаблон:Math.

• Для чётного Шаблон:Math:

$n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac{n}{2}}2i=2^{1^{\frac{n}{2}}}\cdot \left(\frac{n}{2}\right)!$

• Для нечётного Шаблон:Math:

$n!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=0}^{\frac{n-1}{2}}(2i+1)=\frac{n!}{2^{1^{\frac{n-1}{2}}}\cdot \left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

$n!!=\frac{n!}{(n-1)!!}$

• Формула для чётного Шаблон:Math:

$n!!=2^{1^{\frac{n}{2}}}\cdot \left(\frac{n}{2}\right)!$

Выведение формулы: $\begin{array}{cc}n!!& =\underset{\frac{n}{2}}{\underbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot n}}=\underset{\frac{n}{2}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}\cdot \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot n}{\underset{\frac{n}{2}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}}=\\ & =2^{1^{\frac{n}{2}}}\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot \frac{n}{2})=2^{1^{\frac{n}{2}}}\cdot \left(\frac{n}{2}\right)!\end{array}$

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

$\begin{array}{cc}14!!& =2^{\frac{14}{2}}\cdot \left(\frac{14}{2}\right)!=2^7\cdot 7!=\\ & =(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)=\\ & =(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)=\\ & =2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14=645120\end{array}$

• Формула для нечётного Шаблон:Math:

$n!!=\frac{n!}{2^{1^{\frac{n-1}{2}}}\cdot \left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Выведение формулы: $\begin{array}{cc}n!!& =\underset{\frac{n+1}{2}}{\underbrace{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot n}}=\frac{\stackrel{\frac{n-1}{2}}{\overbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}}\cdot \stackrel{\frac{n+1}{2}}{\overbrace{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \dots \cdot (n-2)\cdot n}}}{\underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}}}=\\ & =\frac{\stackrel{n}{\overbrace{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \dots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}}}{\underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}}}=\frac{n!}{\underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}}}=\frac{n!}{(n-1)!!}\end{array}$ Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного Шаблон:Math. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде Шаблон:Math) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем: $\begin{array}{cc}& \underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}}=\underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}\cdot \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}{\underset{\frac{n-1}{2}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}}=\\ & =2^{1^{\frac{n-1}{2}}}\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot \frac{n-1}{2})=2^{1^{\frac{n-1}{2}}}\cdot \left(\frac{n-1}{2}\right)!\end{array}$ Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для $n!!$: $n!!=\frac{n!}{2^{1^{\frac{n-1}{2}}}\cdot \left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

$\begin{array}{cc}15!!& =\frac{15!}{2^{1^{\frac{15-1}{2}}}\cdot \left(\frac{15-1}{2}\right)!}=\frac{15!}{2^{1^7}\cdot 7!}=\\ & =\overbrace{\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)}}=\\ & =\overbrace{\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}}=\\ & =\overbrace{\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14}}=\\ & =\overbrace{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}=2027025\end{array}$

Осуществив замену $n=2k$ для чётного Шаблон:Math и $n=2k+1$ для нечётного Шаблон:Math соответственно, где $k$ — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

$(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^k\cdot k!$

• для нечётного числа:

$(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^k(2i+1)=\frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}$

По договорённости: $0!!=1$. Также это равенство выполняется естественным образом:

$0!!=2^0\cdot 0!=1\cdot 1=1$

Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений Шаблон:Math начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

Шаблон:Math-кратный факториал числа Шаблон:Math обозначается $n\underset{m}{\underbrace{!!\dots !}}$ и определяется следующим образом. Пусть число Шаблон:Math представимо в виде $n=mk-r,$ где $k\in \mathbb{Z},$ $r\in \{0,1,\dots ,m-1\}.$ Тогда

$n\underset{m}{\underbrace{!!\dots !}}=\prod _{i=1}^k(mi-r)$

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями Шаблон:Math-кратного факториала для Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением:

$n\underset{m}{\underbrace{!!\dots !}}=\prod _{i=1}^k(mi-r)=m^k\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(k-\frac{r}{m}+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{r}{m})}.$

Также кратный факториал $n\underset{m}{\underbrace{!!\dots !}}$ возможно записывать в сокращенном виде $n{!}_{(m)}$.

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

$(n{)}_k=n^{\underset{\_}{k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i$.

Например:

Шаблон:Math = 7; Шаблон:Math = 4,

(Шаблон:Math) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из Шаблон:Math по Шаблон:Math.

Возрастающий факториал

Шаблон:Main Возрастающим факториалом называется выражение

$n^{(k)}=n^{\bar{k}}=n\cdot (n+1)\cdot \dots \cdot (n+k-1)=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.$

Праймориал или примориал

Шаблон:Main Праймориал или примориал (Шаблон:Lang-en) числа Шаблон:Math обозначается Шаблон:Math и определяется как произведение Шаблон:Math первых простых чисел. Например,

$p_5\mathrm{\#}=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310$.

Иногда праймориалом называют число $n\mathrm{\#}$, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное Шаблон:Mvar.

Последовательность праймориалов (включая $1\mathrm{\#}\equiv 1$) начинается так:

Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …

Фибонориал или фибоначчиал

Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!_F.

Например, : 6!_F = $1\times 1\times 2\times 3\times 5\times 8=240$.

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Шаблон:Не переведено в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых Шаблон:Math факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

$\mathrm{sf}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288$

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

$\mathrm{sf}(n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}=1^n\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1{)}^2\cdot n^1.$

Последовательность суперфакториалов чисел $n⩾0$ начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Шаблон:Не переведено, что привело к гиперфакториалам (Шаблон:Lang-en), которые являются произведением первых Шаблон:Math суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел $n⩾0$ начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или Шаблон:Math-уровневый факториал числа Шаблон:Math, как произведение (Шаблон:Math − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до Шаблон:Math, то есть

$\mathrm{mf}(n,m)=\mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1)=\prod _{k=1}^n{k}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+m-1}{n-k})},$

где $\mathrm{mf}(n,0)=n$ для $n>0$ и $\mathrm{mf}(0,m)=1.$

Субфакториал

Субфакториал !Шаблон:Math определяется как количество беспорядков порядка Шаблон:Math, то есть перестановок Шаблон:Math-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

• Факторион
• Двойная экспоненциальная функция
• Субфакториал

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга