Ньютонов потенциал

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в ${ℝ}^3$ и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|⁻¹:

$V=\frac{1}{|x|}*\rho .$

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Объёмный потенциал

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x) = 0, $x\in {ℝ}^3\setminus \bar{G}$, то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом, можно выразить через интеграл

$V(x)=\underset{G}{\iiint }\frac{\rho (y)}{|x-y|}dy$

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C¹(ℝ³) и ΔV(x) = 0 при x ∈ ${ℝ}^3\setminus \bar{G}$.

Потенциал простого слоя

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

$V^{(0)}=\frac{1}{|x|}*\mu {\delta }_S$

или в интегральном виде:

$V^{(0)}(x)=\underset{S}{\iint }\frac{\mu (y)}{|x-y|}d{S}_y,$

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ³ и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

$\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}{|}_{+}=-2\pi \mu (S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}{|}_S,$

$\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}{|}_{-}=2\pi \mu (S)+\frac{\partial V^{(0)}}{\partial 𝐧}{|}_S,$

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

$V^{(0)}(x)=\{\begin{array}{c}4\pi \mu \frac{R^2}{|x|},|x|⩾R,\\ 4\pi \mu R,|x|<R.\end{array}$

Потенциал двойного слоя

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

$V^{(1)}(x)=-\frac{1}{|x|}*\frac{\partial }{\partial 𝐧}(\nu {\delta }_S)=\underset{S}{\iint }\nu (y)\frac{\partial }{\partial {𝐧}_y}\frac{1}{|x-y|}d{S}_y=\underset{S}{\iint }\mu \frac{\cos \phi }{|x-y{|}^2}d{S}_y,$

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

$V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),$

$V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).$

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

$V^{(1)}(x)=\{\begin{array}{c}0,x\in {ℝ}^3\setminus \bar{G},\\ -2\pi \nu ,x\in S,\\ -4\pi \nu ,x\in G.\end{array}$

Физический смысл ньютоновских потенциалов

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

См. также

• Гравитация
• Задача Дирихле
• Задача Неймана
• Логарифмический потенциал
• Теория потенциала

Ссылки

[bse.sci-lib.com/article091961.html Потенциал в Большой советской энциклопедии]