Риманово многообразие

Риманово многообразие, или риманово пространство, $(M,g)$ — это (вещественное) гладкое многообразие $M$, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением $g$ — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Риманова метрика $g$ — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности $(0,2)$.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение $TM$ гладкого многообразия $M$ ставит в соответствие каждой точке $M$ векторное пространство, называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая $\alpha (t)$: $[0,1]\to M$ имеет касательный вектор ${\alpha }^{\prime }(t_0)$ в касательном пространстве $TM(t_0)$ в любой точке $t_0\in (0,1)$, и каждый такой вектор имеет длину $\Vert {\alpha }^{\prime }(t_0)\Vert$, где $\Vert \cdot \Vert$ обозначает норму, индуцированную скалярным произведением на $TM(t_0)$. Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой $\alpha$:

$L(\alpha )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t.$

Гладкость $\alpha (t)$ для $t$ в $[0,1]$ гарантирует, что интеграл $L(\alpha )$ существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие $R^n$ имеет индуцированную метрику $g$: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на $R^n$. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в $R^n$ достаточной большой размерности $n$.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция $x(t)$ параметра $t$, меняющегося от $a$ до $b$), равна:

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g_{ij}\frac{d{x}^i}{dt}\frac{d{x}^j}{dt}}dt=\underset{x(a)}{\overset{x(b)}{\int }}\sqrt{g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j}.$

Угол $\theta$ между двумя векторами, $U=u^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ и $V=v^j\frac{\partial }{\partial x^j}$ (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

$\cos \theta =\frac{g_{ij}{u}^i{v}^j}{\sqrt{\left|g_{ij}{u}^i{u}^j\right|\left|g_{ij}{v}^i{v}^j\right|}}.$

Обобщения

• Псевдориманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерово многообразие

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия