Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению $x^{4} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$ .

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: $y = \pm \sqrt{\frac{a^{2} x^{2} - x^{4}}{a^{2}}}$ .

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

x = a \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}, y = a \frac{2 t (t^{2} - 1)}{(t^{2} + 1)^{2}}

.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

x = a \cos (t), y = a \sin (t) \cos (t) = a \sin (2 t) / 2,

или

x = a \cos (ω t), y = b \sin (ω t) \cos (ω t) = b \sin (2 ω t) / 2

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси $y$ относительно колебаний по оси $x$ и нулевым сдвигом фаз.

Построения

При помощи программы GNU Octave

Лемниската Жероно может быть построена с помощью GNU Octave — свободной программной системы для математических вычислений, использующей совместимый с MATLAB язык высокого уровня.

Следующий код, выполняемый в GNU Octave, позволяет построить график лемнискаты Жероно:

a = 1
t=linspace(0,2*pi,1000);

x = a * cos (t)
y = a * sin (2 .* t) / 2
plot(x,y,"b",'LineWidth', 2)

% plot X and Y axis
x=[-1.5*a, 1.5*a]; y=[0, 0]; line(x,y)
x=[0, 0]; y=[-1, 1]; line(x,y)

axis([-1.5*a,1.5*a,-a,a],"equal")

grid on

Результат работы для a=1 приведён в начальной части статьи.

Для построяения кривой используется параметрическая форма расчета координат x и y.

При помощи программы Sage Math

Построение лемнискаты Жероно в Sage, используя неявно заданную функцию.

Построение в Sage лемнискаты Жероно, используя неявно заданную функцию.

Лемниската Жероно задается с помощью уравнения $x^{4} - a^{2} (x^{2} - y^{2}) = 0$ . По умолчанию принимается значение $a = 1$

## Лемниската Жероно
## x^4=a^2*(x^2-y^2)

a=1
var('x y')
pl=implicit_plot(x^4-(a^2)*(x^2-y^2), (x,-a,a), (y,-a,a),linewidth=2, gridlines=True,frame=False,axes=True)
pl.show()

См. также

Ссылки

Шаблон:Навигация

Словарь плоских кривых (англ.).
Lemniscate de Gerono (фр.).

Литература

Артоболевский И. И. Механизмы в современной технике. — Т. 2. — Изд. 7-е. — М.: Наука, 1979.

Шаблон:Math-stub Шаблон:Кривые