Функции параболического цилиндра

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

$\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+(a{z}^2+bz+c)f=0.(1)$

График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:

$\frac{d^{2}f}{d{z}^2}+(\nu +\frac{1}{2}-\frac{z^2}{4})f=0,$

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются $D_{\nu }(z).$

Функции $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом $\nu$ функции $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ линейно независимы. Для всех $\nu$ функции $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$ также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом

График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из $(1)$ заменой $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^2}y(z)$

$\frac{d^{2}y}{d{z}^2}-2z\frac{dy}{dz}+2\nu y=0.(2)$

Функции Эрмита обозначаются $H_{\nu }(z).$ Общее решение уравнения $(2):$

$y(z)=c_1{H}_{\nu }(z)+c_2\mathrm{\Phi }(-\frac{\nu }{2};\frac{1}{2};z^2),$

где $\mathrm{\Phi }(\alpha ;\beta ;z)$ — вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном $\nu$ функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном $\nu$ функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Рекуррентные соотношения

$D_{\nu }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +1)}{\sqrt{2\pi }}(e^{\frac{1}{2}\nu \pi i}{D}_{-\nu -1}(iz)+e^{-\frac{1}{2}\nu \pi i}{D}_{-\nu -1}(-iz))$

$D_{\nu }(z)=z{D}_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)$

$H_{\nu }(z)=2z{H}_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)$

$H_{\nu }(z)=\frac{2z}{2(\nu +1)}{H}_{\nu +1}(z)-\frac{1}{2(\nu +1)}{H}_{\nu +2}(z)$

$2\nu H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)=2z{H}_{\nu }(z)$

Формулы дифференцирования

$\frac{d}{dz}{D}_{\nu }(z)=-\frac{1}{2}z{D}_{\nu }(z)+\nu D_{\nu -1}(z)$

$\frac{d}{dz}{H}_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)$

$\frac{d}{dz}{H}_{\nu }(z)-2z{H}_{\nu }(z)=-H_{\nu +1}(z)$

$\frac{d}{dz}[e^{-z^2}{H}_{\nu }(z)]=-e^{-z^2}{H}_{\nu +1}(z)$

Литература

• Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
• Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2

H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+k^{2}u=0$" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

Ссылки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.