Фундаментальное решение

Шаблон:О Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора Шаблон:Mvar или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора Шаблон:Mvar называется решение Шаблон:Mvar (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения

Шаблон:Math

где правая часть Шаблон:Math — дельта-функция Дирака.

Исторически понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.

Свойства

• Фундаментальное решение оператора Шаблон:Mvar, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Шаблон:Mvar, принадлежащего ядру оператора Шаблон:Mvar: пусть Шаблон:Mvar — решение уравнения Шаблон:Math тогда Шаблон:Mvar также является его решением, если Шаблон:Math.
• Решение неоднородного уравнения Шаблон:Math с произвольной правой частью Шаблон:Mvar выражается через фундаментальное решение оператора Шаблон:Mvar с помощью свёртки по формуле Шаблон:Math. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с Шаблон:Mvar.
• Функция Шаблон:Mvar является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами

$L(\partial )=\sum _{|k|=0}^m{a}_k\underset{x_1}{\overset{k_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{k_n}{\partial }},k=(k_1,\dots ,k_n),$

если и только если её преобразование Фурье $\hat{F}$ удовлетворяет равенству $L(-i\xi )\hat{F}(\xi )=1,$ где

$L(\xi )=\sum _{|k|=0}^m{a}_k{\xi }_1^{k_1}\cdots {\xi }_n^{k_n},\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),$

i — мнимая единица.

Примеры

• Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами, где $|x{|}^2=x_1^2+\cdots +x_n^2$ — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in {ℝ}^n$:

$F_2(x)=\frac{1}{2\pi }\ln |x|,F_3(x)=-\frac{1}{4\pi |x|},F_n(x)=-\frac{1}{(n-2)s_n|x{|}^{n-2}},n\ge 3,$

где $s_n$ означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.

• Фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид:

$\mathrm{\Phi }(x,t)=\frac{\theta (t)}{(2a\sqrt{\pi t}{)}^n}\exp (-\frac{|x{|}^2}{4a^{2}t}),x\in {ℝ}^n,$

где $\theta (t)$ — функция Хевисайда.

• Фундаментальное решение бигармонического уравнения, то есть оператора $L={\mathrm{\Delta }}^2,$ имеет вид

$F_2(x)=-\frac{|x{|}^2}{8\pi }(\ln |x|-1),F_3(x)=\frac{|x|}{8\pi }.$

Литература

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.