Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел $x_1,\dots ,x_n$ определяется как

$A_d(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[d]{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^d}{n}}.$

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

$A_0(x_1,\dots ,x_n)=\underset{d\to 0}{\lim }{A}_d(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i};$

$A_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{d\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{A}_d(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\};$

$A_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{d\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{A}_d(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}.$

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Другие названия

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена:

• $A_1(x_1,\dots ,x_n)=m=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

• $A_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=h=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$ называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• $A_2(x_1,\dots ,x_n)=s=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$ называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
• В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
• Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней $+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$ этих чисел:

$\max \{x_1,\dots ,x_n\}=A_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n);$

$\min \{x_1,\dots ,x_n\}=A_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n).$

• Неравенство Поцелуйко:

$\sqrt[n]{\frac{x}{y}}\ge \frac{nx}{(n-1)x+y}$, где $x,y>0$ и $n\in \mathbb{N}$

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для любых $d_1>d_2$

$A_{d_1}(x_1,\dots ,x_n)\ge A_{d_2}(x_1,\dots ,x_n)$,

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_1=\dots =x_n$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_d(x_1,\dots ,x_n)$ по $d$ неотрицательна и обращается в ноль только при $x_1=\dots =x_n$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Шаблон:Main Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$\max \{x_1,\dots ,x_n\}\ge \frac{x_1+\dots +x_n}{n}\ge {(x_1\cdot \dots \cdot x_n)}^{1/n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}\ge \min \{x_1,\dots ,x_n\},$

где каждое из неравенств обращается в равенство только при $x_1=\dots =x_n$.

См. также

• Неравенство Швейцера

Ссылки

• Шаблон:Статья