Уравнение Кортевега — де Фриза

Уравне́ние Кортеве́га — деШаблон:NbspФри́за (уравнение КдФ; также встречается написание деШаблон:NbspВриза, деШаблон:NbspВриса, деШаблон:NbspФриса, ДеШаблон:NbspФриса; Шаблон:Lang-en) — нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и [[Врис, Густав де|Густавом деШаблон:NbspВрисом]] в 1895 году.

Уравнение имеет вид:

$\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}=0$.

Решения

Для уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе данное уравнение имеет решения солитонного типа следующего вида:

$u(x,t)=\frac{2{\kappa }^2}{{\cosh }^2\left[\kappa (x-4{\kappa }^{2}t-x_0)\right]}$,

где $\kappa$ — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость; $x_0$ — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси Шаблон:Math. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, экспоненциально спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи метода обратной задачи рассеяния.

Периодические решения уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеют вид Шаблон:Iw, описываемых эллиптическими интегралами:

$x-ct-x_0=\int {(2E+c{u}^2-2u^3)}^{-\frac{1}{2}}du$

где c, E — параметры волны, определяющие её амплитуду и период.

Также уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза допускает автомодельные решения, которые в общем случае могут быть получены при помощи преобразований Беклунда и выражаются через решения уравнения Пенлеве.

Интегралы движения и представление Лакса

Уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеет важное значение для теории интегрируемых систем как один из простейших примеров точно решаемого нелинейного дифференциального уравнения. Интегрируемость обеспечивается наличием у уравнения бесконечного количества интегралов движения, имеющих вид

$I_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{2n-1}(u,{\partial }_{x}u,\underset{x}{\overset{2}{\partial }}u,\dots )\text{d}x$

где $P_n$ — полиномы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, заданные рекурсивно следующим образом:

$\begin{array}{cc}{P}_1& =u,\\ P_n& =-\frac{d{P}_{n-1}}{dx}+\sum _{i=1}^{n-2}{P}_i{P}_{n-1-i},n\ge 2.\end{array}$

Их можно получить, воспользовавшись представлением Лакса

$\frac{dL}{dt}=[P,L]$

посредством пары операторов

$\begin{array}{cc}L& =-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+u,\\ P& =-4\underset{x}{\overset{3}{\partial }}+6u{\partial }_x+3u_x.\end{array}$

Более того, можно показать, что уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза имеет бигамильтонову структуру.

Несколько первых интегралов движения:

• масса $\int u\text{d}x,$
• импульс $\int u^2\text{d}x,$
• энергия $\int [2u^3-{\left({\partial }_{x}u\right)}^2]\text{d}x.$

Обобщения

При наличии диссипации уравнение Кортевега — деШаблон:NbspФриза переходит в Шаблон:Iw, имеющее вид

$\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

где параметр $\nu$ характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — деШаблон:NbspФриза является так называемое уравнение Кадомцева — Петвиашвили, имеющее вид:

$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3})=\pm \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — Шаблон:М: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга