Метод обратной задачи рассеяния

Ме́тод обра́тной зада́чи рассе́яния — аналитический метод решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений. Основан на связи нелинейного уравнения с данными рассеяния семейства вспомогательных линейных дифференциальных операторов, дающей возможность по эволюции данных рассеяния восстановить эволюцию решения нелинейного уравнения.

Метод представляет собой аналог метода Фурье решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Роль преобразования Фурье при этом играет отображение коэффициентных функций линейного дифференциального оператора в совокупность данных рассеянияШаблон:Sfn. При применении метода необходимо решать обратную задачу рассеяния, которая состоит в восстановлении линейного дифференциального оператора по его данным рассеяния.

В основе метода лежит представление исследуемого нелинейного уравнения в виде условия совместности системы линейных уравнений, называемое представлением ЛаксаШаблон:Sfn.

Для интегрируемых методом обратной задачи уравнений характерно существование специальных точных решений — солитонов («уединённых волн»).

История

Взаимодействие солитонов: двухсолитонное решение уравнения Кортевега — де Фриза

Метод обратной задачи рассеяния берет начало в 1967 году в работе К. С. Гарднера, Дж. М. Грина, М. Д. Крускала и Р. М. Миуры, применивших его к уравнению Кортевега — де Фриза (КдФ). Это уравнение было выведено в конце XIX века для описания волн на мелкой воде. Тогда же были получены некоторые его точные решения — солитоны. Интерес к солитонам возобновился в связи с исследованиями по физике плазмы в 60-х годах XX века. В 1965 году М. Д. Крускал и Н. Забужский обнаружили путём численного моделирования, что солитоны уравнения Кортевега — де Фриза сталкиваются упруго (эффект, совершенно не характерный для линейных волн). Этот результат дал толчок к новым аналитическим исследованиям, которые в результате привели к возникновению метода обратной задачи.

Дальнейшее развитие метод получил в работе П. Лакса, который вскрыл лежащий в основе алгебраический механизм. Позднее К. С. Гарднер, В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев построили теорию уравнения Кортевега — де Фриза как гамильтоновой системы.

В 1971 году В. Е. Захаров и А. Б. Шабат применили метод обратной задачи к другому важному для физики уравнению — нелинейному уравнению Шрёдингера. Вскоре М. Вадати, используя идеи прямой и обратной задачи рассеяния, предложил решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (мКдФ), а М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур проделали то же самое для уравнения синус-Гордона. Затем М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур предложили схему, позволяющую по заданной задаче рассеяния построить иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых методом обратной задачи.

В дальнейшем при помощи метода обратной задачи рассеяния было построено решение для разностного аналога уравнения Кортевега — де Фриза — цепочки Тоды, изучены периодические и почти периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза (до этого речь шла о решениях, быстро убывающих на бесконечности), получены решения других нелинейных уравненийШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Описание метода на примере уравнения Кортевега — де Фриза

Связь с оператором Штурма — Лиувилля

Уравнение Кортевега — де Фриза

$u_t-6u{u}_x+u_{xxx}=0$

является условием совместности переопределённой системы линейных уравнений:

$\{\begin{array}{c}(L-k^2)\psi =0,\\ {\psi }_t+A\psi =0,\end{array}$

где

$L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+u(x,t)$

— оператор Штурма — Лиувилля,

$A=4\frac{d^3}{d{x}^3}-3(u\frac{d}{dx}+\frac{d}{dx}u),$

и эквивалентно следующему операторному соотношению, называемому представлением Лакса:

$L_t=[L,A]=LA-AL.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Прямая задача рассеяния

Спектр оператора Штурма — Лиувилля (оператора Шрёдингера)

$L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+u(x),-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$

с потенциалом $u(x)$, достаточно быстро убывающим при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, состоит из двух компонент: непрерывной, включающей положительную полуось $k^2>0$, и конечного числа отрицательных дискретных собственных значений $-p_n^2,n=1,2,\dots ,N$. Для характеристики непрерывной части спектра вводится решение уравнения $L\psi =k^2\psi$, определяемое асимптотическими граничными условиями

$\psi (x,k)\sim T(k)e^{-ikx},x\to -\mathrm{\infty },$

$\psi (x,k)\sim e^{-ikx}+R(k)e^{ikx},x\to +\mathrm{\infty }.$

Данные условия однозначно определяют решение $\psi (x,k)$, а также коэффициенты прохождения $T(k)$ и отражения $R(k)$. Собственным значениям $-p_n^2$ отвечают собственные функции $f_n(x)$ и нормировочные константы

${\rho }_n={[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_n^2(x)dx]}^{-1}.$

Данными рассеяния оператора $L$ называется набор величин:

$J=\{R(k),-\mathrm{\infty }<k<+\mathrm{\infty };p_n,{\rho }_n,n=1,2,\dots ,N\}.$

Прямая задача рассеяния заключается в определении данных рассеяния по заданному потенциалу $u$Шаблон:Sfn.

Обратная задача рассеяния

Обратная задача рассеяния состоит в восстановлении оператора $L$ (а именно, его потенциала $u$) по данным рассеяния. Один из основных методов решения обратной задачи рассеяния основан на уравнении Гельфанда — Левитана — Марченко:

$K(x,y)+M(x+y)+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(x,z)M(z+y)dz=0,y>x.$

Это интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции $K(x,y)$ (при каждом фиксированном $x$). Оно связывает функцию $M(x)$, которая строится по данным рассеяния:

$M(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}R(k)e^{ikx}dk+\sum _{n=1}^N{\rho }_n{e}^{-p_{n}x}$

с функцией $K(x,y)$, по которой можно найти потенциал:

$u(x)=-2\frac{d}{dx}K(x,x).$Шаблон:Sfn

Эволюция данных рассеяния

Если функция $u(x,t)$ меняется во времени как решение уравнения Кортевега — де Фриза, то эволюция данных рассеяния во времени имеет вид

$R(k,t)=R(k,0)e^{8i{k}^{3}t},p_n(t)=p_n(0),{\rho }_n(t)={\rho }_n(0)e^{8p_n^{3}t}.$

Верно и обратноеШаблон:Sfn.

Схема метода

Схема метода обратной задачи рассеяния: по начальному условию u(x, 0) находятся данные рассеяния J(0), по ним строятся данные рассеяния J(t), затем решается обратная задача рассеяния и находится решение u(x, t) нелинейного уравнения.

Решение задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза методом обратной задачи рассеяния разбивается на три этапа:

1. Решить прямую задачу рассеяния: по заданному начальному условию $u(x,0)$ найти данные рассеяния $J(0)$.
2. По $J(0)$ найти $J(t)$, используя формулы для эволюции данных рассеяния.
3. Решить обратную задачу рассеяния: по данным рассеяния $J(t)$ восстановить функцию $u(x,t)$ — искомое решение задачи Коши.

Стоит отметить, что все этапы схемы связаны с изучением линейных задачШаблон:Sfn.

Солитоны

Прямая и обратная задачи рассеяния решаются точно для безотражательных потенциалов, для которых коэффициент отражения $R(k)$ тождественно равен нулю. В этом случае решение обратной задачи имеет вид

$u(x)=-2\frac{d^2}{d{x}^2}\ln \det A(x),$

где $A(x)$ — $N\times N$ матрица с элементами

$A_{nm}={\delta }_{nm}+\frac{{\rho }_n}{p_n+p_m}{e}^{-(p_n+p_m)x}$

(здесь ${\delta }_{nm}$ — символ Кронекера). Свойство безотражательности сохраняется по времени. Временная динамика безотражательных потенциалов получается заменой

${\rho }_n\to {\rho }_n{e}^{8p_n^{3}t}$

в определении матрицы $A$. Простейший безотражательный потенциал с одним дискретным уровнем $p_1=\varkappa$ называется солитоном и имеет вид

$u(x,t)=-\frac{2{\varkappa }^2}{{\mathrm{ch}}^2\varkappa (x-4{\varkappa }^{2}t-\phi )},$

где введено обозначение

$\phi =\frac{1}{2\varkappa }\ln \frac{{\rho }_1}{2\varkappa }.$Шаблон:Sfn

Интегрируемые уравнения

• Уравнение Кортевега — де Фриза
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Уравнение синус-Гордона
• Цепочка Тоды
• Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза
• Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
• Уравнение Ишимори

См. также

• Теория интегрируемых систем

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Физическая энциклопедия
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга