Постоянная Каталана

Постоя́нная Катала́на — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

$G=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\dots$

Её численное значение приблизительно равно:

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (Шаблон:OEIS)

Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.

Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Шаблон:Lang-fr).

Связь с другими функциями

Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

$G=\beta (2).$

Она также соответствует частному значению Шаблон:Нп5, которая связана с мнимой частью дилогарифма

$G={\mathrm{Cl}}_2(\pi /2)=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_2(e^{i\pi /2}))=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_2(i)).$

Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G,$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G,$

так что

$G=\frac{1}{16}[{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)-{\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)].$

Шаблон:Нп5 нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ${\psi }_1$, ${\pi }^2$ и постоянной Каталана G.

Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции:

$G=4\pi \ln \left(\frac{G(\frac{3}{8})G(\frac{7}{8})}{G(\frac{1}{8})G(\frac{5}{8})}\right)+4\pi \ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{8})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{8})}\right)+\frac{\pi }{2}\ln \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}\right).$

Интегральные представления

Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt,$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy,$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt,$

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan x}{x}dx,$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\cosh x}dx.$

Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x):

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(x)dx.$

Быстро сходящиеся ряды

Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

$G=\frac{\pi }{8}\ln (\sqrt{3}+2)+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}$

и

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})-$
	$-2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2}).$

Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой.

Цепные дроби

Цепная дробь константы Каталана (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

$G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=$

$=0+\frac{1}{1+\frac{1}{10+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\dots }}}}$

Известны следующие обобщённые цепные дроби для константы Каталана:

$2G=2-\frac{1}{3+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{3+\frac{4^2}{1+\frac{4^2}{3+\frac{6^2}{1+\frac{6^2}{3+\frac{\dots }{\dots +\frac{4n^2}{1+\frac{4n^2}{3+\dots }}}}}}}}}}$

$2G=1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1^2}{\frac{1}{2}+\frac{1\cdot 2}{\frac{1}{2}+\frac{2^2}{\frac{1}{2}+\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{2}+\frac{3^2}{\frac{1}{2}+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^2}{\frac{1}{2}+\frac{n\cdot (n+1)}{\frac{1}{2}+\dots }}}}}}}}}$

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.

Число известных значащих цифр постоянной Каталана G

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1865	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1913	32	Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990	Шаблон:Nts	Greg J. Fee
1996	Шаблон:Nts	Greg J. Fee
1996, 14 августа	Шаблон:Nts	Greg J. Fee и Шаблон:Нп5
1996, 29 сентября	Шаблон:Nts	Thomas Papanikolaou
1996	Шаблон:Nts	Thomas Papanikolaou
1997	Шаблон:Nts	Patrick Demichel
1998, 4 января	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon
2001	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	Шаблон:Nts	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006, октябрь	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2008, август	Шаблон:Nts	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, 31 января	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, 16 апреля	Шаблон:Nts	Alexander J. Yee & Raymond Chan

См. также

• Дзета-функция Римана
• Бета-функция Дирихле

Ссылки

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan’s constant
• Шаблон:Статья
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Шаблон:Wayback, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Шаблон:Wayback, (1999)
• Шаблон:MathWorld
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan’s Constant (Ramanujan’s Formula) (1996)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite arxiv