Алгебра в исламском мире

Страница из книги аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала»

Данная статья — часть обзора Математика исламского Средневековья.

Алгебра (от Шаблон:Lang-ar Шаблон:Transl — «восстановление (разрозненных) частей, восстановление равенства, уравнение, восполнение») получила фундаментальный импульс для своего развития благодаря учёным исламского мира, чьи новаторские идеи и методы заложили основу этой математической дисциплины. Ключевым событием стало появление в IX веке работы аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала». Аль-Хорезми впервые отошёл от геометрической традиции греков и арифметики Диофанта, предложив систематизированную теорию уравнений и универсальные принципы их решения. Введение абстрактных понятий и упрощение математических операций сделало алгебру не просто инструментом решения конкретных задач, а новой объединяющей концепцией.

Работы других выдающихся математиков, таких как Абу Камил, аль-Караджи, Омар Хайям, аль-Самуал и Шараф ад-Дин Ат-Туси расширили возможности алгебры, включая иррациональные числа, отрицательные числа, сложные системы уравнений, кубические уравнения и работу с многочленами. Эти фундаментальные исследования, переведённые на латынь и другие европейские языки, стали важнейшим источником математических знаний для европейских учёных, оказав значительное влияние на развитие науки эпохи Возрождения. Они сформировали основу для дальнейших достижений в теории чисел и вычислительной математике. Алгебра, рождённая в эпоху Золотого века ислама, стала неотъемлемой частью математического наследия исламского мира.

Зарождение алгебры

IX век: аль-Хорезми

В начале IX века аль-Хорезми в своей работе «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания» предложил новаторский подход, не основывающийся на какой-либо предыдущей «арифметической» традиции, включая Диофанта. Он разработал новую терминологию для алгебры, отличая чисто алгебраические термины от тех, что используются в арифметике. Аль-Хорезми заметил, что представление чисел имеет важное значение в повседневной жизни, поэтому он стремился найти или обобщить способы упрощения математических операций, что впоследствии стало называться алгеброй.

Аль-Хорезми рассматривал члены уравнений как массы гирь на весах, которые надо было перенести на другую чашу весов, чтобы уравновесить весы (перенос членов из правой части уравнения в левую с противоположным знаком и наоборот); или как одинаковые гири на обеих чашах, которые можно было убрать с обоих чаш без нарушения равновесия (сокращение членов уравнения).

Файл:Al Khwarizmi's Monument in Khiva.png

Памятник аль-Хорезми в Хиве

Страницы из арабской копии «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» XIV века, демонстрирующие геометрические решения двух квадратных уравнений

Работа аль-Хорезми была сосредоточена на линейных и квадратных уравнениях. Он признавал, что дискриминант должен быть положительнымШаблон:Sfn. При этом игнорировались виды уравнений, где при положительных коэффициентах могли возникнуть неположительные корни. В самих уравнениях отрицательные коэффициенты не допускались — только много веков спустя в 1544 году они были учтены Михаэлем Штифелем, что позволило ещё больше обобщить и снизить количество типов уравнений. Также внимание уделялось элементарной арифметике двучленов и трёхчленов.

Его доказательство правила решения квадратных уравнений вида $a{x}^2+bx=c$ стало выдающимся достижением в истории алгебры. Этот прорыв заложил основу для систематического подхода к решению квадратных уравнений, ставшего фундаментальным аспектом дальнейшего развития алгебры. Подход аль-Хорезми не только предоставил практическое решение для уравнений такого типа, но и, в отличие от Диофанта, ввёл абстрактный и обобщённый подход к математическим задачам.

Перевод и влияние на Европу

Его подход, включающий решение уравнений с использованием радикалов и связанных с ними алгебраических вычислений, оказал влияние на математическое мышление на долгое время после его смерти. «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания» была переведена на латинский язык в XII веке. Этот перевод сыграл ключевую роль в передаче алгебраических знаний в Европу, значительно повлияв на математиков эпохи Возрождения и сформировав эволюцию современной математики.

Большую роль в распространении арабоязычной математики на Запад сыграли практичность и универсальность методов аль-Хорезми. Они были разработаны для преобразования числовых и геометрических задач в уравнения в нормальной форме, что приводило к каноническим формулам решений. Само слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джабр» и означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение».

Дальнейшее развитие

X–XI века: Абу Камил и аль-Караджи

Египетский математик Абу Камил (850—930) расширил алгебру на множество иррациональных чисел, принимая квадратные корни и корни четвёртой степени в качестве решений и коэффициентов уравнений. Также он разработал методы, используемые для решения системы из трёх нелинейных уравнений с тремя неизвестными. Одной из уникальных черт его работ была попытка найти все возможные решения некоторых из его задач, включая одну, в которой он нашёл 2676 решений. По словам Джона Леннарта Берггрена, одной из самых интересных задач, которая демонстрирует его «виртуозное» владение алгеброй, является система нелинейных уравнений с тремя неизвестными:

$\{\begin{array}{c}10=x+y+z\\ z^2=x^2+y^2\\ xz=y^2\end{array}$

Он подробно описал шаги расчёта и нашёл одно из решений данной системыШаблон:Sfn. Его Алгебра, задуманная как комментарий к труду аль-Хорезми, содержит многочисленные достижения в алгебраических преобразованиях. Среди прочего, он показал правила умножения выражений, содержащих неизвестное, и правила вычисления корней, например: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. Он провёл тщательные доказательства для элементарных преобразований, таких как $ax\cdot bx=ab\cdot x^2$Шаблон:Sfn. Его работы стали важным фундаментом для развития алгебры и оказали влияние на последующих математиковШаблон:Sfn.

Дальнейшие достижения в алгебре были сделаны аль-Караджи (953—1029) в его трактате аль-Фахри, где он расширяет методологию, включая целые степени и целые корни неизвестных величин. Он первым систематизировал алгебраические операции с одночленами и многочленами и полностью отделил алгебру от геометрии, отбросив греческий подход к математике, основанный преимущественно на геометрии. Некоторые из задач аль-Фахри были повторно использованы Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Джероламо Кардано без указания автора. В этой же книге появляется прототип доказательства методом математической индукции, аль-Караджи использовал его для доказательства формулы суммы целых кубов. Также он первым описал таблицу биномиальных коэффициентов для разложения бинома $(a+b{)}^n$.

Одним из важных открытий аль-Караджи было правило:

$\sqrt{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\sqrt{\frac{\sqrt{A}+\sqrt{A-B}}{2}}\pm \sqrt{\frac{\sqrt{A}-\sqrt{A-B}}{2}}$

В своей книге «Чудесное об арифметике» он предложил читателям самостоятельно формировать иррациональности подобного вида. Историк математики Пол Люкей отмечает, что если бы у аль-Караджи нашлись последователи в этом вопросе, то кто-нибудь мог бы легко придти к мысли использовать в правой части приведённой формулы кубические корни. Тогда получилось бы выражение, в основном совпадающее с так называемой формулой Кардано. С помощью известных аль-Караджи вычислений, например, $(a+b{)}^3$, можно было бы доказать, что это выражение решает кубическое уравнение. Данная идея аль-Караджи получила развитие у европейских алгебраистов, творчество которых базировалось на восточном наследии. Историк математики Франц Вёпке высоко оценил аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления».

XI-XII века: Омар Хайям

Геометрическое решение кубического уравнения Омара Хайяма. Для решения уравнения третьей степени $x^3+a^{2}x=b$ Хайям построил параболу $x^2=ay$, окружность с диаметром $b/a^2$ и вертикальную прямую, проходящую через точку пересечения параболы и окружности. Решением является длина горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью x

Прославленный поэт и математик Омар Хайям (1048—1131) изложил оригинальные методы решения кубических уравнений в своём сочинении «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы». До Хайяма был уже известен геометрический метод, восходящий к Менехму и развитый Архимедом и Ибн аль-Хайсамом: неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений. Хайям привёл обоснование этого метода, классификацию типов уравнений, алгоритм выбора типа конического сечения, оценку числа положительных корней и их величиныШаблон:Sfn.

Хайям утверждал, что греки не оставили ничего в теории кубических уравнений. Как он пишет, вклад более ранних авторов, таких как Мухаммад аль-Махани и Абу Джафар аль-Хазин, заключался в переводе геометрических задач в алгебраические уравнения — что, по сути, было невозможно до работы аль-Хорезми. Арабский эклектизм способствовал сближению числовой и геометрической алгебры, а Омар Хайям продвинулся в этом направлении задолго до ДекартаШаблон:Sfn.

В своей книге он дал первое дошедшее до нас определение алгебры как науки. Другим достижением Хайяма стало его открытие того, что кубическое уравнение может иметь более одного решения. Он показал, что существуют уравнения с двумя решениями, однако не привёл случаев, когда уравнение может иметь три вещественных корня. До формул Кардано Хайяму дойти не удалось, но он высказал надежду, что явное решение будет найдено в будущем.

XII-XIII века: аль-Самуал и Шараф ад-Дин ат-Туси

Аль-Самуал (1130—1180) первым определил $x^0=1$ и дал правило произведения любых двух одночленов целых степеней. Это позволило ему разработать эффективную процедуру, с помощью которой можно было выполнить любое деление многочленов. Например, он рассчитал:Шаблон:Sfn

$\frac{20x^6+2x^5+58x^4+75x^3+125x^2+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^3+5x+5+10x^{-1}}$

Шараф ад-Дин ат-Туси (1135—1213) в своей работе «Трактат об уравнениях» говорит о восьми типах кубических уравнений с положительными решениями и о пяти типах, не имеющих положительных решений. Он использовал подход, который позднее стал известен как метод «Руффини — Горнера» для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Также он разработал концепцию производной функции и экстремумов кривой для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных значений. Шараф ад-Дин понял важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраического решения некоторых специальных видов кубических уравнений.

Также он предложил идею функций, хотя и не совсем в явном виде. Он заметил, что наличие решения у кубического уравнения вида $x^2(b-x)=d$ зависит от того, достигает ли выражение слева значения $d$. Для определения этого он доказал, что максимум данной функции достигается в при $x=2b/3$. Таким образом, он смог утверждать, что если это значение меньше $d$, то у уравнения нет положительных решений; если оно равно $d$, то существует одно решение при $x=2b/3$; а если оно больше $d$, то существует два решения: одно в интервале от $0$ до $2b/3$ и другое — между $2b/3$ и $b$.

Символьная алгебра

Изначально в арабоязычных работах уравнения записывались словами в виде полных предложений. Это отличалось от работы Диофанта, в которой всё же использовались некоторые символьные обозначения. Переход к современному виду алгебры, в которой используются исключительно символы, можно увидеть позднее в работах Ибн аль-Банны (1256—1321) и аль-Каласади (1412—1486), а также их предшественников.

Упадок и современное возрождение

Шаблон:Iw, 1903

После крестовых походов и монгольского нашествия сложившаяся научная традиция в исламском мире начала медленно угасать. C конца XVIII века новые труды европейских математиков начали постепенно внедряться в образовательные программы исламских стран. В Турции в 1773 году был основан Стамбульский технический университет (название на момент открытия: Шаблон:Iw), в Иране в 1851 году был основан Дар ул-Фунун, который стал предтечей Тегеранского университета.

В XIX веке турецкая математика уже выдвинула алгебраиста, чьи оригинальные работы публиковались в научных журналах Европы и Америки. Шаблон:Iw в своих трудах соединил вместе кватернионы Гамильтона и систему комплексных чисел Аргана для создания трёхмерной алгебраической структуры. Свою алгебру, связанную с умножением триплетов, он назвал линейной алгеброй. Тефвик Паша писал: «Умножение линейной алгебры основано на геометрической концепции <…> не только в своих приложениях оно несёт весьма примечательную аналогию с исчислением кватернионов, но и позволяет нам восстановить все принципы кватернионов иным способом, чем тот, который использовался в великой книге Гамильтона или Тэйта».

В XX—XXI веках алгебраисты из Центральной Азии (Асан Тайманов, Бектур Байжанов, Вильжан Амербаев, Серикжан Бадаев), Турции (Айше Сойсал, Шаблон:Iw, Шаблон:Iw, Шаблон:Iw), Ирана (Али Реза Ашрафи, Шаблон:Iw, Шаблон:Iw, Шаблон:Iw) и других стран занимают заметное место в математическом сообществе. Среди представителей традиционно мусульманских народов России также есть значимые математики-алгебраисты, такие как Билсур Габдулхаев и Булат Хабибуллин.

См. также

• Развитие числовой системы в исламском мире
• Отец алгебры

Литература

• Омар Хаййам. Трактаты. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. М., 1962.
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга