Биномиальное преобразование

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием ЭйлераШаблон:Переход, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение

Биномиальное преобразование $T$ последовательности $a_n$ в последовательность $s_n$ имеет вид

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k.$

Введём $(Ta{)}_n=s_n$, где $T$ — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы $T_{nk}.$

Оператор $T$ обладает свойством инволюции:

$TT=1$ или в иных обозначениях $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{T}_{km}={\delta }_{nm}$,

где

$\delta$ — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

$a_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})s_k.$

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

$s_0=a_0$;

$s_1=-(\mathrm{△}a{)}_0=-a_1+a_0$;

$s_2=({\mathrm{△}}^{2}a{)}_0=-(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0)=a_2-2a_1+a_0$;

$\dots$

$s_n=(-1{)}^n({\mathrm{△}}^{n}a{)}_0,$

где

$\mathrm{△}$ — оператор дифференцирования: ${\mathrm{\Delta }}_h(f(x))=f(x+h)-f(x).$

Пример

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой $3^{n-2}(2n^2+n)$, которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой $n^2{2}^{n-1}$

Сдвиг

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла $B_i$:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k$

Простые производящие функции

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть $\{\begin{array}{c}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\\ g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n\end{array}$

Тогда

Преобразование Эйлера

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить $x=\frac{1}{2}$ в Шаблон:Eqref, то получим

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}}$,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при $p\in \mathbb{N}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})a_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+p+1}}.$

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции ${}_2{F}_1$, получая

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1}).$

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть $0<x<1$ имеет цепную дробь $x=[0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$.

Тогда

$\{\begin{array}{c}\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1,a_2,a_3,\cdots ];\\ \frac{x}{1+x}=[0;a_1+1,a_2,a_3,\cdots ].\end{array}$

Экспоненциальная производящая функция

Для экспоненциальной функции имеем

$\{\begin{array}{c}\bar{f}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{x^n}{n!};\\ \bar{g}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n\frac{x^n}{n!}.\end{array}$

Тогда

$\bar{g}(x)=(T\bar{f})(x)=e^x\bar{f}(-x).$

Интегральное представление

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

См. также

• Преобразование Меллина

Литература

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Ссылки

• Binomial Transform