Дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр

Два́жды ко́со отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₈₁, по Залгаллеру — М₁₃+М₆).

Составлен из 42 граней: 10 правильных треугольников, 20 квадратов, 10 правильных пятиугольников и 2 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 2 окружены двумя десятиугольными и тремя квадратными, 6 — десятиугольной и четырьмя квадратными, остальные 2 — пятью квадратными; среди квадратных граней 1 окружена двумя десятиугольными и двумя пятиугольными, 8 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, остальные 11 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 90 рёбер одинаковой длины. 10 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 10 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 40 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды косо отсечённого ромбоикосододекаэдра 50 вершин. В 20 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 30 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, отсекши от того два не противолежащих друг другу пятискатных купола (J₅). Вершины полученного многогранника — 50 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 90 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у дважды косо отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды косо отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{5}{2}(8+\sqrt{3}+(2+\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 56,9233187a^2,$

$V=\frac{5}{3}(11+5\sqrt{5})a^3\approx 36,9672331a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld