Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр

Два́жды противополо́жно наращённый усечённый додека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₆₉, по Залгаллеру — М₆+М₁₂+М₆).

Составлен из 52 граней: 30 правильных треугольников, 10 квадратов, 2 правильных пятиугольников и 10 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена четырьмя десятиугольными и шестью треугольными; каждая пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 10 граней окружены тремя десятиугольными, 10 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 10 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 20 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно наращённого усечённого додекаэдра 70 вершин. В 40 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 20 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 10 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр можно получить из трёх многогранников — усечённого додекаэдра и двух пятискатных куполов (J₅), — приложив куполы к двум противоположным десятиугольным граням усечённого додекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{2}(20+15\sqrt{3}+(50+\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 103,3734243a^2,$

$V=\frac{1}{12}(515+251\sqrt{5})a^3\approx 89,6877552a^3.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld