Деривационные формулы Вайнгартена

Деривационные формулы ВайнгартенаШаблон:R дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности в терминах первых производных радиус-вектора этой поверхности. Эти формулы выведены в 1861 году германским математиком Юлиусом ВайнгартеномШаблон:Sfn.

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Пусть S будет поверхностью в трёхмерном евклидовом пространстве, которая параметризована радиус-вектором $𝐫(u,v)$ поверхности. Пусть $P=P(u,v)$ будет фиксированной точкой на поверхности. Тогда

${𝐫}_u=\frac{\partial 𝐫}{\partial u},{𝐫}_v=\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$

являются двумя касательными векторами в точке P.

Пусть n будет единичным вектором нормали и пусть $(E,F,G)$ и $(L,M,N)$ будут коэффициентами первой и второй квадратичных форм этой поверхности соответственно. Дифференциальные формулы Вайнгартена дают первую производную единичного вектора нормали n в точке P в терминах касательных векторов ${𝐫}_u$ и ${𝐫}_v$:

${𝐧}_u=\frac{FM-GL}{EG-F^2}{𝐫}_u+\frac{FL-EM}{EG-F^2}{𝐫}_v$

${𝐧}_v=\frac{FN-GM}{EG-F^2}{𝐫}_u+\frac{FM-EN}{EG-F^2}{𝐫}_v$

Эти уравнения можно выразить компактно

${\partial }_a𝐧=K_a^b{𝐫}_b$,

где K_ab являются компонентами тензора кривизны поверхности.

Литература

• Шаблон:MathWorld
• Springer Encyclopedia of Mathematics, Weingarten derivational formulas
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга, section 45.
• Шаблон:Статья