Многочлены Цернике

Графики значений в единичном круге.

Многочлены Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике.

Определения

Есть чётные и нечётные многочлены Цернике. Чётные многочлены определены как

$Z_n^m(\rho ,\phi )=R_n^m(\rho )\cos (m\phi )$,

а нечётные как

$Z_n^{-m}(\rho ,\phi )=R_n^m(\rho )\sin (m\phi ),$,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, $0\le \rho \le 1$. Многочлены Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. $|Z_n^m(\rho ,\phi )|\le 1$.

Радиальные многочлены $R_n^m$ определяются как

$R_n^m(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\frac{(-1{)}^k(n-k)!}{k!((n+m)/2-k)!((n-m)/2-k)!}{\rho }^{n-2k}$

для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m .

Другие представления

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях $\rho$ суть целые числа:

$R_n^m(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2k}{\frac{n-m}{2}-k}){\rho }^{n-2k}$.

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

$\begin{array}{cc}{R}_n^m(\rho )& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n+m}{2}}){\rho }^n{}_2{F}_1(-\frac{n+m}{2},-\frac{n-m}{2};-n;{\rho }^{-2})\\ & =(-1{)}^{\frac{n+m}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+m}{2}}{\frac{n-m}{2}}){\rho }^m{}_2{F}_1(1+n,1-\frac{n-m}{2};1+\frac{n+m}{2};{\rho }^2)\end{array}$

для четных значений n − m.

Свойства

Ортогональность

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\rho \sqrt{2n+2}{R}_n^m(\rho )\sqrt{2n^{\prime }+2}{R}_{n^{\prime }}^m(\rho )d\rho ={\delta }_{n,n^{\prime }}.$

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (m\phi )\cos (m^{\prime }\phi )d\phi ={\epsilon }_m\pi {\delta }_{|m|,|m^{\prime }|},$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin (m\phi )\sin (m^{\prime }\phi )d\phi =(-1{)}^{m+m^{\prime }}\pi {\delta }_{|m|,|m^{\prime }|};m\ne 0,$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cos (m\phi )\sin (m^{\prime }\phi )d\phi =0,$

где параметр ${\epsilon }_m$ (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если $m=0$, и равным 1, если $m\ne 0$. Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

$\int Z_n^m(\rho ,\phi )Z_{n^{\prime }}^{m^{\prime }}(\rho ,\phi )d^{2}r=\frac{{\epsilon }_m\pi }{2n+2}{\delta }_{n,n^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }},$

где $d^{2}r=\rho d\rho d\phi$ — якобиан полярной системы координат, а оба числа $n-m$ и $n^{\prime }-m^{\prime }$ — четные.

Примеры

Радиальные многочлены

Ниже представлены несколько первых радиальных многочленов.

$R_0^0(\rho )=1$

$R_1^1(\rho )=\rho$

$R_2^0(\rho )=2{\rho }^2-1$

$R_2^2(\rho )={\rho }^2$

$R_3^1(\rho )=3{\rho }^3-2\rho$

$R_3^3(\rho )={\rho }^3$

$R_4^0(\rho )=6{\rho }^4-6{\rho }^2+1$

$R_4^2(\rho )=4{\rho }^4-3{\rho }^2$

$R_4^4(\rho )={\rho }^4$

$R_5^1(\rho )=10{\rho }^5-12{\rho }^3+3\rho$

$R_5^3(\rho )=5{\rho }^5-4{\rho }^3$

$R_5^5(\rho )={\rho }^5$

$R_6^0(\rho )=20{\rho }^6-30{\rho }^4+12{\rho }^2-1$

$R_6^2(\rho )=15{\rho }^6-20{\rho }^4+6{\rho }^2$

$R_6^4(\rho )=6{\rho }^6-5{\rho }^4$

$R_6^6(\rho )={\rho }^6.$

См. также

• Уравнение Орнштейна — Цернике
• Аберрация оптической системы
• Адаптивная оптика
• Активная оптика