Операция «Snub»

Два плосконосых архимедова тела

Плосконосый куб или плосконосый кубооктаэдр

Плосконосый додекаэдр или плосконосый икосододекаэдр

Две хиральные копии плосконосого куба как альтернирование (красных и зелёных) вершин усечённого кубооктаэдра.

Плосконосый куб можно построить путём преобразования ромбокубооктаэдра с помощью вращения 6 синих квадратных граней пока 12 белых квадрата не станут парами равносторонних треугольников.

Операция snub или отсечение вершин — это операция, применяемая к многогранникам. Термин появился из названий, данных Кеплером двум архимедовым телам — плосконосый куб (cubus simus) и плосконосый додекаэдр (dodecaedron simum). В общем случае плосконосые формы имеют хиральную симметрию двух видов, с ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно названиям Кеплера, отсечение вершин можно рассматривать как растяжение правильного многогранника, когда исходные грани отодвигаются от центра и поворачиваются относительно центров, вместо исходных вершин добавляются многоугольники с центрами в этих вершинах, а пары треугольников заполняют пространство между исходными рёбрами.

Терминологию обобщил Коксетер со слегка другим определением для более широкого множества однородных многогранников.

Операция «snub» Конвея

Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников, которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub)Шаблон:Sfn.

В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, $s=dg$, и это эквивалентно последовательности операторов Шаблон:Не переведено 5, усечения и ambo. Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.

Плосконосые правильные фигуры

	Многогранники			Евклидовы мозаики		Гиперболические мозаики
Нотация Конвея	sT	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7
Плосконосый многогранник	Тетраэдр	Куб или Октаэдр	Икосаэдр или Додекаэдр	Квадратная мозаика	Шестиугольная мозаика или Треугольная мозаика	Семиугольная мозаика или Шаблон:Не переведено 5
Рисунок

В 4-мерных пространствах Конвей считает, что Шаблон:Не переведено 5 должен называться полуплосконосым 24-ячейником, поскольку он не представляет альтернированный Шаблон:Не переведено 5, как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Операции «snub» Коксетера, правильная и квазиправильная

Плосконосый куб, полученный из куба или кубооктаэдра

Исходное тело	Полноусечённый многогранник r	Усечённый многогранник t	Шаблон:Не переведено 5 h
Cube	Кубооктаэдр Полноусечённый куб	Усечённый кубооктаэдр Скошено-усечённый куб	Плосконосый кубооктаэдр Плосконосый полноусечённый куб
C	CO rC	tCO trC или trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	$\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ или r{4,3}	$t\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ или tr{4,3}	$ht\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ htr{4,3} = sr{4,3}
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD или Шаблон:CDD	Шаблон:CDD или Шаблон:CDD	Шаблон:CDD или Шаблон:CDD

Шаблон:- Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает Шаблон:Не переведено 5 усечение, по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра, а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра. Это определение используется в названиях двух тел Джонсона — плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный Шаблон:Не переведено 5, Шаблон:CDD или s{3,4,3}.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, $\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD имеет усечение, определённое как $t\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ с диаграммой Шаблон:CDD, и плосконосую форму, определённую как Шаблон:Не переведено 5 усечение $ht\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}p,q\end{array}\right\}$ с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD. Это построение требует, чтобы q было чётным.

Квазиправильный многогранник $\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ или r{p,q}, с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD имеет квазиправильное усечение, определённое как $t\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ или tr{p,q} (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как Шаблон:Не переведено 5 усечение полного усечения $ht\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}=s\left\{\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right\}$ или htr{p,q} = sr{p,q} (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD или Шаблон:CDD).

Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли $\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ (и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр, который выражается символом Шлефли $s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ (с диаграммой Коксетера Шаблон:CDD). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра $t\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$ (Шаблон:CDD).

Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр $s\left\{\begin{array}{c}3,4\end{array}\right\}$ (Шаблон:CDD) (и плосконосый тетратетаэдр $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$, Шаблон:CDD) представляет псевдоикосаэдр, правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией. Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра, $t\left\{\begin{array}{c}3,4\end{array}\right\}$ (Шаблон:CDD), или в форме тетраэдральной симметрии: $t\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$ и Шаблон:CDD.

	Усечённый t	Альтернированный h
Октаэдр O	Усечённый октаэдр tO	Плосконосый октаэдр htO или sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD

Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n-антипризму как $s\left\{\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right\}$ или $s\left\{\begin{array}{c}2,2n\end{array}\right\}$ на основе n-призм $t\left\{\begin{array}{c}2\\ n\end{array}\right\}$ или $t\left\{\begin{array}{c}2,2n\end{array}\right\}$, а $\left\{\begin{array}{c}2,n\end{array}\right\}$ является правильным осоэдром, вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.

Плосконосые осоэдры, {2,2p}

Рисунок
Диаграммы Коксетера	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD Шаблон:CDD	Шаблон:CDD... Шаблон:CDD...	Шаблон:CDD Шаблон:CDD
Символ Шлефли	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5...	Шаблон:Не переведено 5
	sr{2,2} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}$	sr{2,3} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$	sr{2,4} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$	sr{2,5} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right\}$	sr{2,6} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right\}$	sr{2,7} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right\}$	sr{2,8}... $s\left\{\begin{array}{c}2\\ 8\end{array}\right\}$...	sr{2,∞} $s\left\{\begin{array}{c}2\\ \mathrm{\infty }\end{array}\right\}$
Нотация Конвея	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:

Треугольная мозаика Δ	Усечённая треугольная мозаика tΔ	Плосконосая треугольная мозаика htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}
Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD

Примеры

Плосконосые фигуры на {p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	...Шаблон:CDD
Символ Шлефли	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	...Шаблон:Не переведено 5

Квазиправильные плосконосые фигуры, основанные на r{p,3}

Пространство	Сферическая				Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетере	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	...Шаблон:CDD
Символ Шлефли	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	...Шаблон:Не переведено 5
	$s\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty }\\ 3\end{array}\right\}$
Нотация Конвея	A3	sT	sC или sO	sD или sI	sΗ или sΔ

Квазирегулярные плосконосые формы, основанные на r{p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	Шаблон:CDD	...Шаблон:CDD
Символ Шлефли	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5	...Шаблон:Не переведено 5
	$s\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right\}$	$s\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\infty }\\ 4\end{array}\right\}$
Нотация Конвея	A4	sC или sO	sQ

Неоднородные плосконосые многогранники

У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:

Плосконосые бипирамиды sdt{2,p}

Плосконосая квадратная бипирамида
Плосконосая шестиугольная бипирамида

Плосконосые полноусечённые бипирамиды srdt{2,p}

Файл:Snub rectified hexagonal bipyramid sequence RUS.svg

Плосконосые антипризмы {2,2p}

Рисунок				...
Символ Шлефли	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
	ssr{2,2} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right\}$	ssr{2,3} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right\}$	ssr{2,4} $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right\}$	ssr{2,5}... $ss\left\{\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right\}$

Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера

Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.

Плосконосые однородные звёздчатые многогранники

s{3/2,3/2} Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD
Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:CDD	Шаблон:Не переведено 5	s{3/2,5/3} Шаблон:CDD

Плосконосые многогранники и соты Коксетера в пространствах высокой размерности

В общем случае правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли, $\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$ и диаграммой Коксетера Шаблон:CDD имеет плосконосую форму с расширенным символом Шлефли $s\left\{\begin{array}{c}p,q,r\end{array}\right\}$ и диаграммой Шаблон:CDD .

Полноусечённый многогранник $\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$ = r{p,q,r}, and Шаблон:CDD has snub symbol $s\left\{\begin{array}{c}p\\ q,r\end{array}\right\}$ = sr{p,q,r}, and Шаблон:CDD.

Примеры

Ортогональная проекция Шаблон:Не переведено 5

Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, Шаблон:Не переведено 5. Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли, $\left\{\begin{array}{c}3,4,3\end{array}\right\}$ и диаграмму Коксетера Шаблон:CDD, а плосконосый 24-ячейник представляется символом $s\left\{\begin{array}{c}3,4,3\end{array}\right\}$ и диаграммой диаграмма Коксетера Шаблон:CDD. Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right\}$ или s{3^1,1,1} и Шаблон:CDD, и симметрией с индексом 3 как $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3,4\end{array}\right\}$ или sr{3,3,4}, Шаблон:CDD или Шаблон:CDD.

Связанные Шаблон:Не переведено 5 модно рассматривать как $s\left\{\begin{array}{c}3,4,3,3\end{array}\right\}$ или s{3,4,3,3}, Шаблон:CDD, тело с более низкой симметрией как $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3,4,3\end{array}\right\}$ или sr{3,3,4,3} (Шаблон:CDD или Шаблон:CDD), и с наименьшей симметрией как $s\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\\ 3\end{array}\right\}$ или s{3^1,1,1,1} (Шаблон:CDD).

Евклидовыми сотами являются Шаблон:Не переведено 5, s{2,6,3} (Шаблон:CDD) или sr{2,3,6} (Шаблон:CDD) или sr{2,3^[3]} (Шаблон:CDD).

Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются Шаблон:Не переведено 5 s{2,4,4} (and Шаблон:CDD) или sr{2,4^1,1} (Шаблон:CDD):

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты, s{3,6,3} и Шаблон:CDD, которые можно построить также как Шаблон:Не переведено 5, h{6,3,3}, Шаблон:CDD. It is also constructed as s{3^[3,3]} and Шаблон:CDD.

Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются Шаблон:Не переведено 5, s{3,4,4} и Шаблон:CDD.

См. также

• Плосконосый многогранник

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Статья