Отсечённый ромбоикосододекаэдр

Отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₆, по Залгаллеру — М₆+М₁₄=2М₆+М₁₃).

Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя квадратными, остальные 6 — пятью квадратными; среди квадратных граней 5 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, остальные 20 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 50 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 45 — между квадратной и треугольной.

У отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, отсекши от того пятискатный купол (J₅). Вершины полученного многогранника — 55 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 105 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(100+15\sqrt{3}+(10+11\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 58,1146508a^2,$

$V=\frac{1}{6}(115+54\sqrt{5})a^3\approx 39,2912785a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld