Планковская угловая частота

В физике, планковская угловая частота это единица угловой частоты, обозначаемая как ${\omega }_{\text{P}}$, определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы.

Шаблон:Нет АИ 2 $t_{\text{P}}$. С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется:

$t_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash G}{c^5}}\approx 5,39116(13)\cdot 10^{-44}$ c,

${\omega }_P=\frac{1}{t_P}=\sqrt{\frac{c^5}{\hslash G}}\approx 1,85487\cdot 10^{43}$ Гц,

где:

$c$ — скорость света в вакууме,

$\hslash$ — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на $2\pi$),

$G$ — гравитационная постоянная,

$t_{\text{P}}$ — планковское время.

Некоторые свойства планковской угловой частоты

Колебания и волны

• Обычная частота, соответствующая планковской угловой частоте: $f=\frac{{\omega }_{\text{P}}}{2\pi }=\frac{1}{2\pi t_{\text{P}}}=\sqrt{\frac{c^5}{4{\pi }^2\hslash G}}=\sqrt{\frac{c^5}{2\pi hG}}=\sqrt{\frac{2{ϵ}_G{c}^5}{h}}=2\sqrt{\frac{c}{\varkappa h}}\approx$ 2,95212 Шаблон:E Гц,

где $h$ — постоянная Планка, ${ϵ}_G=\frac{1}{4\pi G}$ — гравитационная электро-подобная константа, $\varkappa =\frac{8\pi G}{c^4}$ — гравитационная постоянная Эйнштейна.

• Период, соответствующий планковской угловой частоте, равен $2\pi t_{\text{P}}$, то есть планковскому времени, умноженному на $2\pi$.
• Фаза:
  • Фаза колебаний, угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время.
  • Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах.
  • Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах l_P, а t в единицах t_P.
  • Изменение фазы гармонического колебания за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ω_P.

Вращение

• При равномерном вращении или движении по окружности изменение угла поворота за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ω_P.
• При вращении или движении по окружности с угловой скоростью, равной планковской угловой частоте, угол поворота изменяется на 1 рад за планковское время.
• Угловая скорость точки, равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом l_P, равна ω_P.

Сигналы

• Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна ${\omega }_{\text{P}}$ (то есть $f_c\le \frac{{\omega }_{\text{P}}}{2\pi }=2\sqrt{\frac{c}{\varkappa h}}$), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации, большей или равной $2\sqrt{\frac{2{ϵ}_G{c}^5}{h}}=4\sqrt{\frac{c}{\varkappa h}}\approx$ 5,90424 Шаблон:E Гц.

Электромагнитные колебания

• Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине, умноженной на $2\pi$.
• Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии.
• Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени, умноженному на $2\pi$ и делённому на 360, то есть $\frac{2\pi t_{\text{P}}}{360}$ Шаблон:Math.

Зрение

• Монохроматический зелёный свет с частотой 540Шаблон:E Гц, о котором говорится в определении канделы, имеет угловую частоту 1,829195613 Шаблон:E ω_P.

Музыка

• Самый низкий звук, воспринимаемый человеческим ухом (16 Гц), имеет угловую частоту примерно 5,419839 Шаблон:E ω_P. Самый высокий (20000 Гц) — около 6,77480 Шаблон:E ω_P. Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 Шаблон:E ω_P до 6,77480 Шаблон:E ω_P.
• Угловая частота эталонного тона «ля» 1-й октавы в 12-звуковом строе (440 Гц) примерно равна 1,49046 Шаблон:E ω_P. Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 Шаблон:E*$\cdot 2^{i/12}$ ω_P, где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону. В частности,
  • Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано (ля субконтроктавы, 27,5 Гц) — примерно 9,315348Шаблон:E ω_P; самой высокой (до 5-й октавы, 4186,0 Гц) — около 1,417968 Шаблон:E ω_P.
  • Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до-диез (или ре-бемоль) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя.