Полуитерат

Полуитерат (или функциональный квадратный корень) функции Шаблон:Math — такая функция Шаблон:Math, что Шаблон:Math для любого Шаблон:Math. Иными словами, функциональный квадратный корень это квадратный корень по отношению к операции композиции функций.

Обозначения

Обозначение полуитерата функции Шаблон:Math как $f^{\frac{1}{2}}$ должно использоваться осторожно в контексте функционального уравнения $f^2(x)=g(x)$, так как оно имеет два решения (аналогично обычным квадратным корням), например для $g(x)=4x-6$, ответами являются $f(x)=6-2x$ и $f(x)=2x-2$.

Другие принятые обозначения представляют из себя $f_{1/2}$ или $f_{[1/2]}$.

Неподвижные точки

Для нахождения функциональных корней зачастую полезно знать неподвижные точки этой функции при ее композиции. Для функции $f$, точка $x$ является неподвижной если верно равенство $f(x)=x$. В таком случае очевидно, что $f^n(x)=x$ для любого $n$ (исключая случаи, когда итерирование функции подверженно феномену Рунге). Например для функции $f(x)=\sin (x)$ неподвижной точкой $a$ является $a=0$.

Аналитические решения

Основной метод нахождения полуитерата функции $f$ является формула$$f^{1/2}(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{m})\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(-1{)}^{m-k}{f}^k(x)$$которая может быть получена разложением суперфункции на ряд интерполяционной формулы Ньютона. Данный ряд сходится если итерация функции $f$ не подверженна вышеупомянутому феномену Рунге (в таком случае могут применятся методы борьбы с феноменом), а также если суперфункция от данной функции не возрастает быстрее чем показательная функция.

Другим методом является ряд Тейлора функции полуитерата в окрестности неподвижной точки $a$:

$$f^{1/2}(x)=a+(x-a)\sqrt{f^{\prime }(a)}+\frac{(x-a{)}^2{f}^{″}(a)}{2\sqrt{f^{\prime }(a)}}\frac{\sqrt{f^{\prime }(a)}-1}{f^{\prime }(a)-1}+\cdots$$