Преобразование Дарбу

В математике преобразование Дарбу, названное так в честь французского математика Гастона Дарбу (1842–1917), представляет собой метод составления нового уравнения и его решения на основе известного уравнения и его решения. Оно широко используется в теории обратной задачи рассеяния, в теории ортогональных полиномов, и как способ построения солитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза . С операторно-теоретической точки зрения этот метод соответствует факторизации исходного дифференциального оператора второго порядка в произведение дифференциальных выражений первого порядка и последующей замене этих множителей, и поэтому в математической литературе его иногда называют методом одиночной коммутации . Преобразование Дарбу имеет приложения в суперсимметричной квантовой механике .

История

Идея этого преобразования восходит к Карлу Густаву Якобу Якоби .

Метод

Пусть $y=y(x)$ является решением уравнения

$-y^{″}(x)+q(x)y(x)=\lambda y(x),$

а $y=z(x)$ является фиксированным строго положительным решением того же уравнения для некоторого $\lambda ={\lambda }_0$. Тогда для $\lambda \ne {\lambda }_0$, функция

$Y(x):=y^{\prime }(x)-\frac{z^{\prime }(x)}{z(x)}y(x)=z(x)\left(\frac{y(x)}{z(x)}\right)$

является решением уравнения

$-Y^{″}(x)+Q(x)Y(x)=\lambda Y(x),$

где $Q(x)=q(x)-2\left(\frac{z^{\prime }(x)}{z(x)}\right).$ Кроме того, для $\lambda ={\lambda }_0$, одним из решений последнего дифференциального уравнения является функция $1/z(x)$, а его общее решение можно найти методом Даламбера:

$Y(x)=\frac{1}{z(x)}(C_1+C_2{\int }^x{z}^2(x)dx),$

где $C_1$ и $C_2$ являются произвольными константами.

Задачи на собственные значения

Преобразование Дарбу изменяет не только дифференциальное уравнение, но и граничные условия. Это преобразование позволяет свести граничные условия, зависящие от спектрального параметра к граничным условиям, не зависящим от спектрального параметра, т.е. одному из граничных условий Дирихле, Неймана или Робина. С другой стороны, оно также позволяет преобразовывать бесселовы (обратно квадратичные) особенности в граничные условия Дирихле и наоборот. Таким образом, преобразования Дарбу связывают граничные условия, зависящие от спектрального параметра с бесселовыми особенностями.

Ссылки

Шаблон:Примечания [[Категория:Дифференциальные уравнения]] [[Категория:Теоретическая физика]]