Пространство основных функций

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций $𝒟(\mathrm{\Omega })$ выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность ${\left\{u_j\right\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}\subset 𝒟(\mathrm{\Omega })$ сходится к $u\in 𝒟(\mathrm{\Omega })$, если:

1. Функции $u_j$ равномерно финитны, то есть $\mathrm{\exists }K$ — компакт в $\mathrm{\Omega }$ и в том числе $\mathrm{\forall }j\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{u}_j\subset K$.
2. $\mathrm{\forall }\alpha D^{\alpha }{u}_j(x)\to D^{\alpha }u(x)$ равномерно по $x$.

Здесь $\mathrm{\Omega }$ — ограниченная область в ${ℝ}^n$.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца $𝒮=𝒮({ℝ}^n)$ — бесконечно гладких на ${ℝ}^n$ функций, убывающих при $|x|\to \mathrm{\infty }$ быстрее любой степени $|x{|}^{-k}$ вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots$ сходится к ${\varphi }^{\ast }$, если

$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in \mathbb{N}|x{|}^{\alpha }{D}^{\beta }{\varphi }_j(x)\to |x{|}^{\alpha }{D}^{\beta }{\varphi }^{\ast }(x)$ равномерно по $x$.

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Обобщённая функция
• Финитная функция