Прямая и обратная предельная теорема

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая и обратная предельная теорема

Прямая предельная теорема

Если последовательность функций распределения $F_n$ слабо сходится к функции распределения $F$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то последовательность соответствующих характеристических функций $\left\{f_n\right\}$ сходится поточечно к характеристической функции $f$.

Иными словами

Если $F_n\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)$, то $f_n\left(t\right)\to f\left(t\right)$ в каждой точке $t$.

Обратная предельная теорема

Пусть последовательность характеристических функций $\left\{f_n\right\}$ сходится поточечно к функции $f$, непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения $F_n$ слабо сходится к функции $F$ и $f$ является характеристической функцией, соответствующей функции распределения $F$.

Доказательство прямой предельной теоремы

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции $g$ возьмем $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$, а на $i$ и $t$ смотрим как на параметры.

Замечание

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из $R$.

Доказательство обратной предельной теоремы

Пусть $F_n$ — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций $f_n$. Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

$\left\{F_{n_k}\right\}\subset \left\{F_n\right\},$ такая что $F_{n_k}\Rightarrow F$

Докажем, что $F$ является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что $F(+\mathrm{\infty })-F(-\mathrm{\infty })=1$

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть $\xi$ произвольная случайная величина, $f$ — её характеристическая функция, тогда для любых $\tau >0$ и $x>0$

$P(\left|\xi \right|\le x)\ge \frac{\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-\frac{1}{\tau x}}{1-\frac{1}{\tau x}}$

Положим $\tau x=2$, тогда неравенство примет вид

$P(\left|\xi \right|\le x)\ge \frac{\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=2\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1$

Докажем неравенство $P(\left|\xi \right|\le x)\ge \frac{\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-\frac{1}{\tau x}}{1-\frac{1}{\tau x}}$. Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

$\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }𝖬e^{it\xi }dt\right|=\left|\frac{1}{2\tau }𝖬{\int }_{-\tau }^{\tau }{e}^{it\xi }dt\right|=\left|\frac{1}{2\tau }𝖬\frac{\sin \tau \xi }{\xi }\right|=$

$=\left|\frac{1}{\tau }𝖬\frac{\sin \tau \xi }{\xi }\right|I_{\{\left|\xi \right|\le x\}}+\left|\frac{1}{\tau }𝖬\frac{\sin \tau \xi }{\xi }\right|I_{\{\left|\xi \right|>x\}}\le 𝖬\left|\frac{\sin \tau \xi }{\tau \xi }\right|I_{\{\left|\xi \right|\le x\}}+𝖬\left|\frac{\sin \tau \xi }{\tau \xi }\right|I_{\{\left|\xi \right|>x\}}\le P(\left|\xi \right|\le x)+\frac{1}{\tau x}(1-P(\left|\xi \right|\le x))$

Так как функция $f$ непрерывна в точке $0$ и является поточечным пределом характеристических функций $\left\{f_n\right\}$, то $f\left(0\right)=1$ и для любого $\epsilon >0$ существует такое ${\tau }_0>0$, что для всех $\tau$ удовлетворяющих неравенству $0<\tau \le {\tau }_0,$ выполнено

$\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-\frac{\epsilon }{4}$

Из того, что $f_n\to f$ при $n\to \mathrm{\infty }$ вытекает для всех $n>n_0$ и для $\tau \in (0;{\tau }_0],$

$|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }{f}_n\left(t\right)dt-\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt|<\frac{\epsilon }{4}$

Из неравенств $\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-\frac{\epsilon }{4}$ и $|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }{f}_n\left(t\right)dt-\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt|<\frac{\epsilon }{4}$ следует, что для любых $n>n_0$ и $\tau$, таких что $0<\tau \le {\tau }_0$

$\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }{f}_n\left(t\right)dt\right|>1-\frac{\epsilon }{2}$

Из неравенств $\left|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }{f}_n\left(t\right)dt\right|>1-\frac{\epsilon }{2}$ и $|\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }{f}_n\left(t\right)dt-\frac{1}{2\tau }{\int }_{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt|<\frac{\epsilon }{4}$ имеем

$F_{n_k}\left(\frac{2}{\tau }\right)-F{n}_k(-\frac{2}{\tau }-0)\ge P(\left|{\epsilon }_{n_k}\right|\le \frac{\tau }{2})\ge 2(1-\frac{\epsilon }{2})-1=1-\epsilon$,

для всех $n>n_0$ и $0<\tau \le {\tau }_0$. Из последнего неравенства в силу произвольности $\tau$ и $\epsilon$ получаем

$F(+\mathrm{\infty })-F(-\mathrm{\infty })=1$

то есть $F$ — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

$f_{n_k}\left(t\right)\underset{n_k\to \mathrm{\infty }}{\to }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{itx}dF\left(x\right),t\in ℝ$

Но по условию теоремы

$f_n\left(t\right)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\to }f\left(t\right),t\in ℝ$

Следовательно

$f\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{itx}dF\left(x\right)$ — характеристическая функция, соответствующая функции распределения $F$

Докажем теперь, что

$F_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\Rightarrow }F$

Предположим противное, пусть

$F_n\nRightarrow F$ при $n\to \mathrm{\infty }$. Тогда существует $\left\{F_{m_k}\right\}\subset \left\{F_n\right\},F_{m_k}\Rightarrow F^{\ast },F^{\ast }\ne F$, причем $F$ и $F^{\ast }$ — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

$f_{n_k}\left(t\right)\to f\left(t\right),f_{m_k}\left(t\right)\to f^{\ast }\left(t\right),k\to \mathrm{\infty }$

и по теореме единственности $f\left(t\right)\ne f^{\ast }\left(t\right)$, но этого не может быть, так как

$f_n\left(t\right)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\to }f\left(t\right)$,

Следовательно

$f\left(t\right)=f^{\ast }\left(t\right)$

Теорема доказана.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Первая и вторая теоремы Хелли
• Теорема Леви о непрерывности