Псевдовыпуклая функция

Псевдовыпуклая функция — это функция, которая ведёт себя подобно выпуклой функции с точки зрения нахождения её локального минимума, но не обязательно выпукла. Неформально, дифференцируемая функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где имеет положительную производную по направлению.

Формальное определение

Вещественнозначная функция ƒ, определённая на (непустом) выпуклом открытом множестве X в конечномерном евклидовом пространстве ${ℝ}^n$, называется псевдовыпуклой, если для всех Шаблон:Nowrap, таких что $\mathrm{\nabla }f(x)\cdot (y-x)⩾0$, мы имеем $f(y)⩾f(x)$Шаблон:Sfn. Здесь $\mathrm{\nabla }f$ является градиентом ƒ, определённым формулой

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}).$

Свойства

Любая выпуклая функция псевдовыпукла, но обратное неверно. Например, функция $f(x)=x+x^3$ псевдовыпукла, но не выпукла. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпукла, но обратное не верно, поскольку функция $f(x)=x^3$ квазивыпукла, но не псевдовыпукла. Псевдовыпуклость представляют в первую очередь интерес, поскольку точка x* является локальным минимумом псевдовыпуклой функции ƒ тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой функции ƒ, что случается при обращении градиента функции ƒ в нуль на x*:

$\mathrm{\nabla }f(x^{\ast })=0.$Шаблон:Sfn.

Обобщения на недиффиренцируемые функции

Понятие псевдовыпуклости может быть обобщено на недифференцируемые функции следующим образомШаблон:Sfn. Если дана функция $f:X\to ℝ$, то можно определить её верхнюю производную Дини как

$f^{+}(x,u)=\underset{h\to 0^{+}}{lim\; sup}\frac{f(x+hu)-f(x)}{h}$

где u является любым единичным вектором. Говорят, что функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Более точно, её можно описать в терминах субдифференциала $\partial f$ следующим образом:

• Для всех $x,y\in X$, если существует $x^{\ast }\in \partial f(x)$, такая что $⟨x^{\ast },y-x⟩⩾0,$ то $f(x)⩽f(z)$ для всех z на отрезке, соединяющем x и y.

Связанные понятия

Псевдовогнутая функция — это функция, отрицательная для которой псевдовыпукла. Псевдолинейная функция — это функция, которая одновременно псевдовыпукла и псевдовогнутаШаблон:Sfn. Например, задачи дробно-линейного программирования имеют псевдолинейные целевые функции и линейные ограничения-неравенства. Эти свойства позволяют решать задачи дробного программирования вариантом симплекс-метода (Джорджа Б. Данцига)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья