Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Описанная и вписанная окружность в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Расстояние между центрами окружностей одинаковы: $d=r$.

Равнобедренный прямоугольный треугольник и обычный равнобедренный треугольник с равными описанной и вписанной окружностями $d=r$.

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

$\alpha =\beta =45^{\circ }=\frac{\pi }{4},$

третий внутренний угол — прямой:

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }=\frac{\pi }{2},$

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна:

$a=b=\frac{c\sqrt{2}}{2},$

а основание равно:

$c=a\sqrt{2},$

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

$h_c=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{2}=R,$

где R — радиус описанной окружности.

Периметр

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

$P=a+b+c=a(2+\sqrt{2}).$

Площадь

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна

$S=\frac{a^2}{2}=\frac{c^2}{4}.$

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

$S=\sqrt{p(p-a{)}^2(p-a\sqrt{2})},$

где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

$p=\frac{P}{2}=a(1+\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Общие характеристики

Описанная и вписанная окружности

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

$r$	$R$	$a$	$c$
$R(\sqrt{2}-1)=\frac{a}{2}(2-\sqrt{2})=\frac{c}{2}(\sqrt{2}-1)$	$\frac{r}{\sqrt{2}-1}=\frac{a}{2}\sqrt{2}=\frac{c}{2}$	$\frac{2r}{2-\sqrt{2}}=R\sqrt{2}=\frac{c}{2}\sqrt{2}$	$\frac{2r}{\sqrt{2}-1}=2R=a\sqrt{2}$

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Неправильное покрытие евклидовой плоскости равнобедренными прямоугольными треугольниками

Поляболы с одним-пятью основными символами

Четыре равнобедренных прямоугольных треугольника вместе с другими семью основными фигурами образуют Бермудский треугольник, версию головоломки пазл

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

$d^2=R(R-2r)=\frac{a^2}{2}(3-2\sqrt{2})$

$d=r=\frac{a}{2}(2-\sqrt{2})=a\sqrt{\frac{1}{2}(3-2\sqrt{2})}\approx 0,2928932a.$

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ($d=r$), имеет углы:

$\alpha =\beta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{4-\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{8\sqrt{2}-11}}\approx 72,968751^{\circ },$

$\gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }.$

Покрытие евклидовой плоскости

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы в головоломках

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.