Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности ${𝐒}^1$.

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем Шаблон:Не переведено 5.

Как 3-многообразия

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером Шаблон:Не переведено 5. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с ${\pi }^{*}F$ Шаблон:Не переведено 5 нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

${\pi }^{*}F=dA.$

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

$\pi :P\to M$,

имеем гомоморфизм

${\pi }^{*}:H^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(P,\mathbb{Z})$,

где ${\pi }^{*}$ является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением $U(1)$. Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения $L\to X$ и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из $L$, получаем, что оно является главным расслоением $U(1)$. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений $U(1)$ согласуются с характеристическими классами $L$.
• Например, рассмотрим аналитификацию $X$ комплексной плоской кривой

$\text{Proj}\left(\frac{ℂ[x,y,z]}{x^n+y^n+z^n}\right)$

Поскольку $H^2(X)=\mathbb{Z}=H^2({ℂ\mathbb{P}}^2)$ и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком ${𝒪}_X(a)={𝒪}_{{\mathbb{P}}^2}(a)\otimes {𝒪}_X$, имеет класс Чженя $c_1=a\in H^2(X)$.

Классификация

Классы изоморфности главных расслоений $U(1)$ многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с Шаблон:Не переведено 5 отображений $M\to BU(1)$, где $BU(1)$ называется Шаблон:Не переведено 5. Заметим, что $BU(1)=C{P}^{\mathrm{\infty }}$ является бесконечномерным Шаблон:Не переведено 5, и что оно является примером Шаблон:Не переведено 5 $K(\mathbb{Z},2)$. Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий $H^2(M,\mathbb{Z})$ многообразия M, поскольку

$[M,BU(1)]\equiv [M,ℂP^{\mathrm{\infty }}]\equiv H^2(M)$.

Этот изоморфизм реализуется Шаблон:Не переведено 5. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного Шаблон:Не переведено 5 (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна ${ℂ}^{*}$, комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением $U(1)$ тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение $M\to B{\mathbb{Z}}_2$ гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to B{O}_2$. Это следует из расширения групп $S{O}_2\to O_2\to {\mathbb{Z}}_2$, где $S{O}_2\equiv U(1)$.

Комплексы Делиня

Шаблон:Основная статья Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня $H_D^2(M,\mathbb{Z})$, расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством $H_D^2(M,\mathbb{Z}(2))$, в то время как $H_D^3(M,\mathbb{Z})$ классифицирует линейные расслоения Шаблон:Не переведено 5.

См. также

• Спектральная последовательность

Литература

• Шаблон:Книга.