Скрученный ромбоикосододекаэдр

Скру́ченный ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₂, по Залгаллеру — М₆+М₁₄+М₆=М₆+М₁₃+2М₆).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 7 окружены пятью квадратными, остальные 5 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 20 окружены двумя пятиугольными и двумя треугольными, 5 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 15 окружены тремя квадратными, остальные 5 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 55 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 55 — между квадратной и треугольной.

У скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём часть — любой пятискатный купол (J₅), — и повернув его на 36° вокруг оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

• 
  Ромбоикосододекаэдр
• 
  Скрученный ромбоикосододекаэдр

Метрические характеристики

Если скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(30+5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 59,3059828a^2,$

$V=\frac{1}{3}(60+29\sqrt{5})a^3\approx 41,6153238a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld