Совершенная степень

Демонстрация палочками Кюизенера природы совершенной степени чисел 4, 8 и 9.

Совершенная степень — положительное целое число $n$, являющееся целой степенью $k$ положительного целого числа $m$: $n=m^k$. При $k=2,3$ число $n$ называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как $0^k=0$ и $1^k=1$ для любого $k>0$).

Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для $m$ и $k$; первые несколько её членов (включая повторяющиеся):

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

Первые совершенные степени без дубликатов таковы:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Свойства

Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как $3^4=9^2=81$) равна 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1$,

что можно доказать следующим образом:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1$.

Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна:

$\sum _i\frac{1}{n_i}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0,874464368\dots$,

где $\mu (k)$ — функция Мёбиуса, а $\zeta (k)$ — дзета-функция Римана.

Шаблон:ЯкорьСогласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных $n_i-1$ из последовательности совершенных степеней $\{n_i\}$ без единицы и дубликатов равна 1:

$\sum _i\frac{1}{n_i-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1$,

иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.

В 2002 году Шаблон:Нп5 доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это $2^3=8,3^2=9$, тем самым доказав гипотезу Каталана.

Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа $k$ существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна $k$.

Выявление совершенных степеней

Выявление того, является ли данное натуральное число $n$ совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для $k$ по каждому из делителей числа $n$ вплоть до $k<n$. Если делители $n$ равны $n_1,n_2,\dots ,n_j$, тогда одно из значений $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ должно быть равно $n$, если $n$ действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения $k$, поскольку для составного $k=ap$, где $p$ — простое число, $n=m^k$ может быть переписано как $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$. Из-за этого следует, что минимальное значение $k$ обязательно должно быть простым.

Если известна полная факторизация $n$, например, $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$, где $p_i$ — различные простые числа, то $n$ — совершенная степень тогда и только тогда, когда $\gcd ({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$ ($\gcd$ — наибольший общий делитель). Например, для $n=2^{96}{3}^{60}{5}^{24}$: поскольку $\gcd (96,60,24)=12$, $n$ — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

Ссылки

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)