Соответствие Галуа

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядкаШаблон:Переход.

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойстваШаблон:Sfn. Изначальное определение — антимонотонноеШаблон:Переход, впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определениеШаблон:Переход.

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Соответствие Галуа широко используется в приложениях, в частности, играет основополагающую роль в анализе формальных понятий (методологии анализа данных средствами теории решёток).

Антимонотонное соответствие Галуа

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций $\phi :A\to B$ и $\psi :B\to A$ между частично-упорядоченными множествами $A$ и $B$, удовлетворяющая следующими соотношениям:

• если $a⩽a^{\prime }$, то $\phi (a)⩾\phi (a^{\prime })$ (антимонотонность $\phi$),
• если $b⩽b^{\prime }$, то $\psi (b)⩾\psi (b^{\prime })$ (антимонотонность $\psi$),
• $\psi (\phi (a))⩾a$ (экстенсивность $\psi \circ \phi$),
• $\phi (\psi (b))⩾b$ (экстенсивность $\phi \circ \psi$).

Композиции $\psi \circ \phi$ и $\phi \circ \psi$ оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности ($(\psi \circ \phi )\circ (\psi \circ \phi )=\psi \circ \phi$ и $(\phi \circ \psi )\circ (\phi \circ \psi )=\phi \circ \psi$), таким образом, являются замыканиями на $B$ и $A$ соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций $\phi$ и $\psi$ следующему условию (Шаблон:Iw, 1953Шаблон:Sfn): $b⩽\phi (a)$ тогда и только тогда, когда $a⩽\psi (b)$.

Шаблон:ЯкорьПо аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностямиШаблон:Sfn.

Монотонное соответствие Галуа

Монотонные функции $\gamma :A\to B$ и $\delta :B\to A$ находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

• $\gamma (\delta (b))⩾b$,
• $\delta (\gamma (a))⩽a$.

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта: $b⩽\gamma (a)$ тогда и только тогда, когда $\delta (b)⩽a$, часто оно принимается за начальное определениеШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьВ случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторыШаблон:Переход. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении — $\gamma$, и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева ($\delta$). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция $\delta \circ \gamma$, при этом композиция $\gamma \circ \delta$ замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным операторомШаблон:Sfn или козамыканием).

Сопряжённые функторы

Всякое частично-упорядоченное множество $(A,⩽)$ может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов $a,a^{\prime }\in A$ множество морфизмов $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(a,a^{\prime })$ состоит из единственного морфизма, если $a⩽a^{\prime }$ и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств $A$ и $B$, отображения $\gamma :A\to B$ и $\delta :B\to A$, находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения $\phi :A\to B^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ и $\psi :B\to A^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ ($A^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ — категория, двойственная $A$, то есть, полученная обращением морфизмов)Шаблон:Sfn.

Свойства

Композиция соответствий

Соответствие Галуа, как в антимонотонной, так и в монотонной форме, может быть подвергнуто операции композиции — если заданы находящиеся в соответствии Галуа пары отображений $({\phi }_1:A\to B,{\psi }_1:B\to A)$ и $({\phi }_2:B\to C,{\psi }_2:C\to B$, то композиция:

$({\phi }_2,{\psi }_2)\circ ({\phi }_1,{\psi }_1)=({\phi }_2\circ {\phi }_1,{\psi }_1\circ {\psi }_2)$

вновь является соответствием Галуа.

Примеры

Теория Галуа и обобщения

В теории Галуа устанавливается соответствие между системой промежуточных подполей алгебраического расширения поля $L\supset K$ и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.

Пример из теории Галуа может быть естественно обобщен: вместо группы автоморфизмов поля можно рассматривать произвольную группу $G$, действующую на множестве $U$ отображением $\cdot :G\times U\to U$, и отображения между упорядоченными по включению булеанами $𝒫U$ и $𝒫G$. В этом случае отображения $\phi :𝒫U\to 𝒫G$ и $\psi :𝒫G\to 𝒫U$, определяемые следующим образом:

$\phi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}$ (выделяет подгруппу в $G$, оставляющую на месте все точки $u\in X$ при действии $\cdot$),

$\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}$ (сопоставляет множеству $S\subseteq G$ множество неподвижных точек автоморфизмов при действии $\cdot$)

находятся в антимонотонном соответствии ГалуаШаблон:Sfn.

Следующее обобщение состоит в рассмотрении произвольных множеств, между которыми задано произвольное бинарное отношение $\star \subseteq A\times B$ и отображений между булеанами этих множеств $𝒫A$ и $𝒫B$, определяемых таким образом:

$\phi (X)=\{y\in B\mid \mathrm{\forall }(x\in X)x\star y\}$,

$\psi (Y)=\{x\in A\mid \mathrm{\forall }(y\in Y)x\star y\}$.

В этом случае $\phi$ и $\psi$ также находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Булеан и обобщения

C упорядоченным по включению булеаном произвольного множества $𝒫A$ и с некоторым зафиксированным его подмножеством $F\subseteq A$ может быть связано монотонное соответствие Галуа между отображениями $\phi ,\psi :𝒫A\to 𝒫A$, задаваемыми следующим образом:

$\phi (X)=F\cap X$,

$\psi (X)=X\cup (A\setminus F)$.

Такое соотношение может быть установлено в любой алгебре Гейтинга, в частности, во всякой булевой алгебре (в булевых алгебрах в терминах алгебры логики роль верхней сопряжённой функции играет конъюнкция, а нижней сопряжённой — материальная импликация).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Шаблон:Статья