Сферическая оболочка

Сферический слой в трёхмерном пространстве с внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $R$. Справа: две половины слоя

Сфери́ческий слой — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусовШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Устаревшие синонимы: сферическая оболочкаШаблон:Sfn; шаровой слойШаблон:Sfn.

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферойШаблон:Sfn.

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слояШаблон:Sfn.

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество $S$ пространства ${𝔼}^n(w)$ размерности $n$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке $a$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шарШаблон:Sfn:

$S=B(a,R)\setminus \overline{B}(a,r),$ $0<r<R$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координатШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$S=\{z\in {𝔼}^n:r<|w|<R,0<r<R\}$.

Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${𝔼}^3(w)=ℂ\times ℝ(z,u)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить следующей формулойШаблон:Sfn:

$S=\{(z,u)\in ℂ\times ℝ:r^2<|z{|}^2+u^2<R^2\}.$

Объём трёхмерного сферического слоя

Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутренней сфер. В случае трёхмерного пространства ${𝔼}^3$ объём сферического слоя

$V=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (R^3-r^3)$,

где $R$ — радиус внешней сферы, $r$ — радиус внутренней сферыШаблон:Sfn.

Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом $r$, внешним радиусом $R$ и толщиной слоя $\mathrm{\Delta }r=R-r$. Если $\mathrm{\Delta }r$ очень мало, то есть $\mathrm{\Delta }r\ll r$, то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен $4\pi r^2\mathrm{\Delta }r$ или $4\pi R^2\mathrm{\Delta }r$. Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слояШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство. Пусть $R=r+\mathrm{\Delta }r$ (случай $r=R-\mathrm{\Delta }r$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получимШаблон:Sfn:

$V=\frac{4}{3}\pi ((r+\mathrm{\Delta }r{)}^3-r^3)=\frac{4}{3}\pi (r^3+3r^2\mathrm{\Delta }r+3r(\mathrm{\Delta }r{)}^2+(\mathrm{\Delta }r{)}^3-r^3)=$

$=\frac{4}{3}\pi (3r^2\mathrm{\Delta }r+3r(\mathrm{\Delta }r{)}^2+(\mathrm{\Delta }r{)}^3)\approx 4\pi r^2\mathrm{\Delta }r$.

Примеры использования тонкостенной сферы

Пример 1. Толщина стенки $h$ резинового детского мяча радиуса $R=25$ см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится $5$ % его объёма, плотность резины $\rho =1,1$ г/см$3^{}$, а плотность воды ${\rho }_0=1$ г/см$3^{}$, равна $\frac{{\rho }_{0}R}{60\rho }\approx 4$ ммШаблон:Sfn.

Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса $m_{\text{Г}}$ гелия в лопнувшем при давлении $p=1,1$ атм резиновом шарике массой $m=2$ г, который надувался при температуре $t=17$ °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине $\mathrm{\Delta }=2\cdot 10^{-3}$ см, плотность резины $\rho =1,1$ г/см$3^{}$, молярная масса гелия $\mu =4$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·K), равна $\frac{1}{6\sqrt{\pi }}\frac{\mu p}{RT}{\left(\sqrt{\frac{m}{\rho \mathrm{\Delta }}}\right)}^3\approx 0,47$ гШаблон:Sfn.

Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина $h$ слоя озона (O₃), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет $\alpha =10^{-5}$ % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения $g=8,2$ м/с², а температура $T=800$ K, молярная масса озона $\mu =48$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·K), равна $\frac{\alpha RT}{\mu g}\approx 1,7$ ммШаблон:Sfn.

Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой $m$ и радиусом $r$, момент равен $\frac{2}{3}m{r}^2$.

Примеры использования сферического слоя любой толщины

Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя

В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H