Теорема Белого

Теорема Белого — фундаментальное утверждение в алгебраической геометрии: любая неособая алгебраическая кривая $C$ , определённая алгебраическими коэффициентами, представляет Шаблон:Не переведено 5, которая является Шаблон:Не переведено 5 сферы Римана с ветвлением лишь в трёх точках. Установлена Шаблон:Не переведено 5 в 1979 году; результат оказался неожиданным, и в связи с ним Гротендиком было создано новое направление в алгебраической геометрии — Шаблон:Не переведено 5, описывающая с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как $H / Γ$ , где $H$ — верхняя полуплоскость, а $Γ$ — подгруппа с конечным индексом в модулярной группе, компактифицированная путём добавления каспов. Поскольку модулярная группа имеет Шаблон:Не переведено 5, отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой.

Шаблон:ЯкорьФункция Белого — голоморфное отображение из компактной римановой поверхности $S$ в комплексную проективную прямую $P^{1} ℂ$ , разветвляющееся лишь над тремя точками, которые после преобразования Мёбиуса могут считаться точками ${0, 1, \infty}$ . Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью Шаблон:Не переведено 5. При этом функции Белого и детские рисунки встречаются в работах Феликса Клейна 1879 годаШаблон:Sfn, где применены для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с Шаблон:Не переведено 5 PSL(2,11)Шаблон:Sfn.

Теорема Белого является теоремой существования функций Белого и активно используется в исследованиях по обратной задаче Галуа.

Примечания