Обратная задача Галуа

Шаблон:Unsolved Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел $\mathbb{Q}$..

Есть несколько групп перестановок, для которых известны Шаблон:Не переведено 5, которые определяют все алгебраические расширения группы $\mathbb{Q}$, имеющие конкретную группу в качестве группы Галуа. В эти группы входят все группы со степенью, не превосходящей Шаблон:Math. Существуют также группы, для которых известно, что для них нет многочленов общего вида, такие как циклическая группа порядка Шаблон:Math.

Более общо, пусть Шаблон:Mvar — заданная конечная группа и пусть Шаблон:Mvar — поле. Тогда вопрос стоит так: существует ли расширение Галуа поля Шаблон:Math, такое, что группа Галуа расширения изоморфна группе Шаблон:Mvar. Говорят, что группа Шаблон:Mvar реализуема над Шаблон:Mvar, если такое поле Шаблон:Mvar существует.

Частичные результаты

Имеется большое количество детальной информации о частных случаях. Известно, что любая конечная группа реализуема над любым Шаблон:Не переведено 5 от одной переменной над комплексными числами $ℂ$, и, более обще, над полями функций от одной переменной над любым алгебраически замкнутым полем с нулевой характеристикой. Игорь Ростиславович Шафаревич показал, что любая конечная разрешимая группа реализуема над $\mathbb{Q}$Шаблон:Sfn. Известно также, что любая спорадическая группа, за исключением, возможно, группы Матьё Шаблон:Math, реализуемы над $\mathbb{Q}$Шаблон:Sfn.

Давид Гильберт показал, что этот вопрос связан с Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar:

Если Шаблон:Mvar является расширением $\mathbb{Q}$, в котором Шаблон:Mvar действует как группа автоморфизмов, а Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math рационально над $\mathbb{Q}$, то Шаблон:Mvar реализуема над $\mathbb{Q}$.

Здесь рациональное означает, что расширение является чисто трансцендентным расширением поля $\mathbb{Q}$, генерируемое алгебраически независимым множеством. Этот критерий, например, можно использовать, чтобы показать, что все симметрические группы реализуемы.

По этому вопросу выпущено много детальных исследований, хотя вопрос так и не решён в общем виде. Некоторые из этих работ основаны на построении Шаблон:Mvar геометрически как накрытие Галуа проективной прямой в терминах алгебры, начиная с расширения поля $\mathbb{Q}(t)$ рациональных функций от неизвестной Шаблон:Mvar. После этого применяется Шаблон:Не переведено 5 для уточнения Шаблон:Mvar, чтобы сохранить группу Галуа.

Известно, что все группы перестановок степени 16 или меньше реализуемы над $\mathbb{Q}$, а вот группа PSL(2,16):2 семнадцатой степени не реализуема.

Известно, что все 13 неабелевых простых групп, меньших PSL(2,25) (с порядком 7800), реализуемы над $\mathbb{Q}$Шаблон:Sfn.

Простой пример: циклические группы

Можно, используя классические результаты, построить явно многочлен, группа Галуа которого над полем $\mathbb{Q}$ является циклической группой $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ для любого положительного целого Шаблон:Mvar. Чтобы это сделать, выберем простое число Шаблон:Mvar, такое что Шаблон:Math. Это сделать можно согласно теореме Дирихле. Пусть $\mathbb{Q}(\mu )$ будет круговым расширением поля $Q$, которое генерируется элементом Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — примитивный p-ый корень из единицы. Группа Галуа поля является $\mathbb{Q}(\mu )/\mathbb{Q}$ циклической и имеет порядок Шаблон:Math.

Поскольку Шаблон:Mvar делит Шаблон:Math, группа Галуа имеет циклическую подгруппу Шаблон:Mvar порядка Шаблон:Math. Из основной теоремы теории Галуа следует, что соответствующее фиксированное поле $F=\mathbb{Q}(\mu {)}^H$ имеет группу Галуа $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ над $\mathbb{Q}$. Путём взятия подходящих сумм сопряжений Шаблон:Mvar с последующим построением Шаблон:Не переведено 5 можно найти элемент Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar, который генерирует Шаблон:Mvar над $\mathbb{Q}$, и вычислить его минимальный многочлен.

Этот метод можно расширить для покрытия всех конечных абелевых групп, поскольку любая такая группа появляется, фактически, как факторгруппа группы Галуа некоторого кругового расширения поля $\mathbb{Q}$. (Это утверждение не следует путать с теоремой Кронекера — Вебера, которая существенно глубже.)

Пример: циклическая группа третьего порядка

Для $n=3$ мы можем взять $p=7$. Тогда группа $Gal(\mathbb{Q}(\mu )/\mathbb{Q})$ является циклической и имеет порядок 6. Возьмём генератор Шаблон:Mvar этой группы, который переводит Шаблон:Mvar в ${\mu }^3$. Нас интересует подгруппа $H=\{1,{\eta }^3\}$ второго порядка. Рассмотрим элемент $\alpha =\mu +{\eta }^3(\mu )$. По построению Шаблон:Mvar оставляется на месте подгруппой Шаблон:Mvar и имеет только три сопряжённых элемента над $\mathbb{Q}$:

$\alpha ={\eta }^0(\alpha )=\mu +{\mu }^6$,

$\beta ={\eta }^1(\alpha )={\mu }^3+{\mu }^4$,

$\gamma ={\eta }^2(\alpha )={\mu }^2+{\mu }^5$.

Используя тождество

$1+\mu +{\mu }^2+\dots +{\mu }^6=0$,

можно найти, что

$\alpha +\beta +\gamma =-1$,

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-2$,

$\alpha \beta \gamma =1$.

Таким образом, Шаблон:Mvar является корнем многочлена

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^3+x^2-2x-1$,

Который, следовательно, имеет группу Галуа $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ над $\mathbb{Q}$.

Симметричные и знакопеременные группы

Гильберт показал, что все симметричные и знакопеременные группы представляются как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами.

Многочлен $x^n+ax+b$ имеет дискриминант

$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n^n{b}^{n-1}+(-1{)}^{1-n}(n-1{)}^{n-1}{a}^n).$

Возьмём частный случай

$f(x,s)=x^n-sx-s$.

Подстановка простого числа вместо Шаблон:Mvar в $f(x,s)$ даёт многочлен (называемый конкретизацией функции $f(x,s)$), который по критерию Эйзенштейна неприводим. Тогда $f(x,s)$ должен быть неприводимым над $\mathbb{Q}(s)$. Более того, $f(x,s)$ можно переписать в виде

$x^n-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}-(s-\frac{1}{2})(x+1)$,

а $f(x,1/2)$ можно переписать в виде

$\frac{1}{2}(x-1)(1+2x+2x^2+\cdots +2x^{n-1})$

второй множитель которого неприводим по критерию Эйзенштейна. Мы показали, что группа $Gal(f(x,s)/\mathbb{Q}(s))$ является Шаблон:Не переведено 5.

Мы можем тогда найти, что эта группа Галуа имеет подстановку. Используем масштабный множитель $(1-n)x=ny$, чтобы получить

$y^n-\left\{s{\left(\frac{1-n}{n}\right)}^{n-1}\right\}y-\left\{s{\left(\frac{1-n}{n}\right)}^n\right\}$

а с помощью подстановки

$t=\frac{s(1-n{)}^{n-1}}{n^n},$

мы получаем

$g(y,t)=y^n-nty+(n-1)t$

что можно выражение преобразовать в

$y^n-y-(n-1)(y-1)+(t-1)(-ny+n-1)$.

Тогда $g(y,1)$ имеет Шаблон:Math в качестве Шаблон:Не переведено 5, а его остальные Шаблон:Math нулей являются простыми, откуда следует подстановка в $Gal(f(x,s)/\mathbb{Q}(s))$. Любая конечная Шаблон:Не переведено 5, содержащая подстановку, является полной симметричной группой.

Из Шаблон:Не переведено 5 тогда следует, что бесконечное множество рациональных чисел даёт конкретизации $f(x,t)$, группы Галуа которых являются группами $S_n$ над рациональным полем $\mathbb{Q}$. Фактически, это множество рациональных чисел плотно в $\mathbb{Q}$.

Дискриминант $g(y,t)$ равен

$(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t),$

и он, в общем случае, не является полным квадратом.

Знакопеременные группы

Решения для знакопеременных групп нужно рассматривать для чётных и нечётных степеней раздельно.

Нечётная степень

Пусть

$t=1-(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2$

После подстановки этого значения дискриминант $g(y,t)$ будет равен

$\begin{array}{cc}(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t)& =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-(1-(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2))\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}((-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}n{u}^2)\\ & =n^{n+1}(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}{u}^2\end{array}$

который является полным квадратом, когда Шаблон:Mvar нечётно.

Чётная степень

Пусть:

$t=\frac{1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}$

После подстановки этого значения дискриминант $g(y,t)$ будет равен

$\begin{array}{cc}(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-t)& =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(1-\frac{1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2})\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}\left(\frac{(1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2)-1}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}\right)\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}\left(\frac{(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}{1+(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2}\right)\\ & =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n(n-1{)}^{n-1}{t}^{n-1}(t(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(n-1)u^2)\\ & =n^n(n-1{)}^n{t}^n{u}^2\end{array}$

Который является полным квадратом, когда Шаблон:Mvar чётно.

Снова, из теоремы Гильберта о неприводимости следует существование бесконечного числа конкретизаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.

Жёсткие группы

Предположим, что $C_1,\dots ,C_n$ являются смежными классами конечной группы Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar является множеством Шаблон:Mvar-кортежей $g_1,\dots ,g_n)$ группы Шаблон:Mvar, таким что $g_i$ содержится в $C_i$, а произведение $g_1\dots g_n$ тривиально. Тогда Шаблон:Mvar называется жёстким, если оно не пустое. Шаблон:Mvar действует транзитивно на него путём сопряжения, а каждый элемент множества Шаблон:Mvar генерирует Шаблон:Mvar.

ТомпсонШаблон:Sfn показал, что в случае, когда конечная группа Шаблон:Mvar имеет жёсткое множество, тогда она часто может быть реализована как группа Галуа над круговым расширением рациональных чисел. (Точнее, над круговым расширением рациональных чисел, генерируемым значениями неприводимых характеров Шаблон:Mvar на классах смежности $C_i$.)

Это можно использовать, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группу-монстра, являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Монстр генерируется тройкой элементов с порядками Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Все такие тройки смежны.

Прототипом для жёсткости является симметрическая группа $S_n$, которая генерируется Шаблон:Mvar-циклом и подстановкой, произведением которых является Шаблон:Math-цикл. Построение в предыдущей секции использует эти генераторы для получения полиномиальных групп Галуа.

Построение с помощью эллиптической модулярной функции

Возьмём какое-либо целое число Шаблон:Math. Решётка $\mathrm{\Lambda }$ на комплексной плоскости с периодом Шаблон:Mvar имеет подрешётку ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }$ с периодом Шаблон:Math. Последняя является одной из конечного набора подрешёток, переставляемых модулярной группой $PSL(2,\mathbb{Z})$, которая основывается на изменении базиса решётки $\mathrm{\Lambda }$. Пусть Шаблон:Mvar обозначает Шаблон:Не переведено 5 Феликса Клейна. Определим многочлен ${\phi }_n$ как произведение разностей $(X-j({\mathrm{\Lambda }}_i))$ над смежными подрешётками. Как многочлен от Шаблон:Mvar ${\phi }_n$ имеет коэффициенты, которые являются многочленами от $\mathbb{Q}$ в Шаблон:Math.

На смежных решётках модулярная группа действует как $PGL(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. Отсюда следует, что ${\phi }_n$ имеет группу Галуа, изоморфную $PGL(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ над $\mathbb{Q}(J(\tau ))$.

Использование теоремы неприводимости Гильберта даёт бесконечное (и плотное) множество рациональных чисел, конкретизирующих ${\phi }_n$ до многочленов с группой Галуа $PGL(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ над полем $\mathbb{Q}$. Группы $PGL(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ включают бесконечно много неразрешимых групп.

Литература

• Шаблон:Из
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья