Теорема Гельфонда — Шнайдера

Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом^[1] и немецким математиком Теодором Шнайдером^[2].

Формулировка

Шаблон:Рамка Если $a, b$ — алгебраические числа, причём $a$ не ноль и не единица, а $b$ иррационально, то любое значение $a^{b}$ — трансцендентное число. |}

Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)Шаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Если $a, b$ — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то $\log (b) / \log (a)$ — либо рациональное, либо трансцендентное число. |}

Шаблон:Рамка Если $\log (a), \log (b)$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел. |} Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.

Значения $a, b$ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение.
Если убрать требование, чтобы $a, b$ были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:

{({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {\sqrt{2}}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {\sqrt{2}}^{2} = 2 .

Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что

{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}

— трансцендентное число.

Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.

Постоянная Гельфонда — Шнайдера $2^{\sqrt{2}}$ и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} .$
Постоянная Гельфонда $e^{π} = {(e^{i π})}^{- i} = (- 1)^{- i} = 23.14069263 \dots$ , а также $i^{i} = {(e^{i π / 2})}^{i} = e^{- π / 2} = 0.207879576 \dots .$

↑ Шаблон:Статья
↑ Schneider, Theodor. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volume 172, 1934, pp. 65–69, 70-74.