Теорема Моро

Теорема Моро — это результат в выпуклом анализе. Она показывает, что достаточно хорошие выпуклые функционалы на гильбертовых пространствах дифференцируемы и производная хорошо аппроксимируется так называемой аппроксимацией Иосиды, которая определяется в терминах резольвенты.

Утверждение теоремы

Пусть $\phi :H\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ будет собственным выпуклым полунепрерывным снизу функционалом в гильбертовом пространстве H со значениями в расширенной числовой прямой. Пусть A означает $\partial \phi$, субдифференциал $\phi$. Для $\alpha >0$ пусть $J_{\alpha }$ означает резольвенту:

$J_{\alpha }=(\mathrm{i}\mathrm{d}+\alpha A{)}^{-1};$

а $A_{\alpha }$ означает аппроксимацию Иосиды для A:

$A_{\alpha }=\frac{1}{\alpha }(\mathrm{i}\mathrm{d}-J_{\alpha }).$

Для каждого $\alpha >0$ и $x\in H$ положим

${\phi }_{\alpha }(x)=\underset{y\in H}{\inf }\frac{1}{2\alpha }\Vert y-x{\Vert }^2+\phi (y).$

Тогда

${\phi }_{\alpha }(x)=\frac{\alpha }{2}\Vert A_{\alpha }x{\Vert }^2+\phi (J_{\alpha }(x))$,

${\phi }_{\alpha }$ выпукла и дифференцируема по Фреше с производной $d\phi +\alpha =A_{\alpha }$. Кроме того, для любого $x\in H$(поточечно), ${\phi }_{\alpha }(x)$ сходится к $\phi (x)$ при $\alpha \to 0$.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:MathSciNet (Предложение IV.1.8)