Теорема двойственности Фенхеля

Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля.

Пусть ƒ — Шаблон:Не переведено 5 ${ℝ}^n$, а g — собственная вогнутая функция на ${ℝ}^n$. Тогда, если удовлетворены условия регулярности,

$\underset{x}{\inf }(f(x)-g(x))=\underset{p}{\sup }(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).$

где $f^{\star }$ является выпуклым сопряжением функции ƒ (которое называется преобразованием Фенхеля — Лежандра), а $g_{\star }$ — вогнутым сопряжением функции g. То есть,

$f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \{⟨x^{*},x⟩-f\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

$g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \{⟨x^{*},x⟩-g\left(x\right)|x\in {ℝ}^n\}$

Математическая теорема

Пусть X и Y будут банаховыми пространствами, $f:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ и $g:Y\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ — выпуклыми функциями, а $A:X\to Y$ будет ограниченным линейным отображением. Тогда задачи Фенхеля

$p^{*}=\underset{x\in X}{\inf }\{f(x)+g(Ax)\}$

$d^{*}=\underset{y^{*}\in Y^{*}}{\sup }\{-f^{*}(A^{*}{y}^{*})-g^{*}(-y^{*})\}$

удовлетворяют слабой двойственности, то есть $p^{*}⩾d^{*}$. Заметим, что $f^{\star },g^{\star }$ являются выпуклыми сопряжениями функций f и g соответственно, а $A^{*}$ является сопряжённым оператором. Шаблон:Не переведено 5 для этой двойственной задачи задаётся формулой $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$.

Предположим, что f, g и A удовлетворяет либо

1. f и g полунепрерывны снизу и $0\in \mathrm{core}(\mathrm{dom}g-A\mathrm{dom}f)$, где $\mathrm{core}$ — Шаблон:Не переведено 5, а $\mathrm{dom}h$, где h — некоторая функция, является множеством $\{z:h(z)<+\mathrm{\infty }\}$, либо
2. $A\mathrm{dom}f\cap \mathrm{cont}g\ne \mathrm{\varnothing }$, где $\mathrm{cont}$ — это точки, где функция непрерывна.

Тогда имеет место сильная двойственность, то есть $p^{*}=d^{*}$. Если $d^{*}\in ℝ$, то супремум достигаетсяШаблон:Sfn.

Одномерная иллюстрация

Файл:FenchelDual02.svg

На рисунке иллюстрируется задача минимизации в левой части равенства. Ищется значение переменной x, такой что вертикальное расстояние между выпуклой и вогнутой кривой в точке x настолько мало, насколько возможно. Положение вертикальной прямой на рисунке (примерно) оптимально.

Файл:FenchelDual01.svg

Следующий рисунок иллюстрирует задачу максимизации на правой стороне равенства выше. Касательные, нарисованные для каждой кривой, имеют одинаковый наклон p. Задача заключается в уточнении значения p таким образом, чтобы две касательные были как можно дальше друг от друга (точнее так, что точки пересечения их с осью y были как можно дальше друг от друга). Механически, можно представить касательные как металлические стержни, соединённые вертикальными пружинами, которые их расталкивают, а параболы ограничивают положение стержней.

Теорема Фенхеля утверждает, что эти две задачи имеют одно и то же решение. Точки, имеющие минимальное вертикальное разделение также являются точками касания для максимально раздвинутых параллельных касательных.

См. также

• Преобразование Лежандра
• Выпуклое сопряжение
• Теорема Моро
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга