Теория представлений группы Галилея

Теория представлений группы Галилея — в нерелятивистской квантовой механике раскрывает глубокую роль массы и спина в свойствах группы симметрий пространства-времени. В релятивистской механике аналогичную роль играет классификация Вигнера.

Определение

В четырёхмерном пространстве-времени Шаблон:Math (и, при очевидном обобщении, в пространстве-времени произвольной размерности Шаблон:Math) представление группы Галилея является представлением подгруппы аффинной группы (на пространстве-времени Шаблон:Math), линейная часть которой оставляет инвариантной как метрику $g_{\mu \nu }=diag(1,0,0,0)$ (инвариантность временных интервалов относительно преобразований Галилея) так и (независимо) дуальную метрику $g_{\mu \nu }=diag(0,1,1,1)$ (инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея).

Проективные представления

В этой статье рассматриваются проективные представления этой группы, которые эквивалентны Шаблон:Не переведено 5 нетривиального центрального расширения универсальной покрывающей группы группы Галилея одномерной группой Ли Шаблон:Math (см. статью Галилеева группа для Шаблон:Не переведено 5 ее алгебры Ли). Для их изучения используется метод Шаблон:Не переведено 5.

Здесь рассматривается (центрально расширенная, Баргман) алгебра Ли, потому что ее проще анализировать, и мы всегда можем распространить результаты на полную группу Ли при помощи Шаблон:Не переведено 5.

$[E,P_i]=0$

$[P_i,P_j]=0$

$[L_{ij},E]=0$

$[C_i,C_j]=0$

$[L_{ij},L_{kl}]=i\hslash [{\delta }_{ik}{L}_{jl}-{\delta }_{il}{L}_{jk}-{\delta }_{jk}{L}_{il}+{\delta }_{jl}{L}_{ik}]$

$[L_{ij},P_k]=i\hslash [{\delta }_{ik}{P}_j-{\delta }_{jk}{P}_i]$

$[L_{ij},C_k]=i\hslash [{\delta }_{ik}{C}_j-{\delta }_{jk}{C}_i]$

$[C_i,E]=i\hslash P_i$

$[C_i,P_j]=i\hslash M{\delta }_{ij}.$

Здесь: Шаблон:Mvar — генератор временных перемещений (гамильтониан), P_i — это генератор перемещений (оператор импульса), C_i — генератор галилеевых бустов, а L_ij — генератор вращений (оператор углового момента). Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar является инвариантом Казимира.

Инвариант массовой поверхности

$ME-\frac{P^2}{2}$

является дополнительным инвариантом Казимира.

В случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math третьим инвариантом Казимира является Шаблон:Math, где

$\overrightarrow{W}\equiv M\overrightarrow{L}+\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{C},$

до некоторой степени аналогичный Шаблон:Не переведено 5 релятивистской механики.

В более общем случае n-мерного пространства-времени Шаблон:Math инварианты будут зависеть от

$W_{ij}=M{L}_{ij}+P_i{C}_j-P_j{C}_i$

и

$W_{ijk}=P_i{L}_{jk}+P_j{L}_{ki}+P_k{L}_{ij},$

а также от вышеуказанного инварианта массовой оболочки и центрального заряда.

Используя лемму Шура, в неприводимом унитарном представлении, можно показать, что все эти инварианты Казимира тождественно кратны. Назовем коэффициенты кратности Шаблон:Mvar и Шаблон:Math и (в случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math) Шаблон:Mvar, соответственно. Вспоминая, что мы рассматриваем здесь унитарные представления, мы видим, что эти собственные значения должны быть вещественными числами.

Классификация по массе

Рассмотрим случаи Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math (последний случай похож на первый). В случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math когда инвариант в Шаблон:Math, для третьего инварианта мы можем написать, Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar представляет собой спин или внутренний угловой импульс. В более общем случае n-мерного пространства-времени Шаблон:Math генераторы Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar будут связаны, соответственно, с общим моментом импульса и моментом центра масс, как

$W_{ij}=M{S}_{ij}$

$L_{ij}=S_{ij}+X_i{P}_j-X_j{P}_i$

$C_i=M{X}_i-P_{i}t.$

С чисто теоретической точки зрения нужно было бы изучить все представления; но в этой статье нас интересуют только приложения к квантовой механике. Там Шаблон:Mvar представляет энергию, которая должна быть ограничена снизу из соображений термодинамической стабильности. Рассмотрим сначала случай, когда Шаблон:Mvar не равно нулю.

В пространстве (Шаблон:Mvar, $\overrightarrow{P}$) рассмотрим гиперповерхность, задаваемую уравнением

$mE=m{E}_0+\frac{P^2}{2},$

мы видим, что галилеевы бусты действуют транзитивно на этой гиперповерхности. Фактически, рассматривая энергию Шаблон:Mvar как гамильтониан, дифференцируя по Шаблон:Mvar и применяя уравнения Гамильтона, мы получаем соотношение между массой и скоростью $m\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P}$.

Гиперповерхность параметризуется этой скоростью In $\overrightarrow{v}$. Рассмотрим стабилизатор точки на орбите (Шаблон:Math), где скорость равна Шаблон:Math. Из-за транзитивности мы знаем, что унитарное неприводимое представление содержит нетривиальное линейное подпространство с этими собственными значениями энергии-импульса. (Это подпространство существует только во Шаблон:Не переведено 5, потому что спектр импульса непрерывен.)

Подпространство охватывает Шаблон:Mvar, $\overrightarrow{P}$, Шаблон:Mvar и Шаблон:Math. Мы уже знаем, как подпространство неприводимых представлений преобразуется при всех операторах, кроме углового момента. Обратите внимание, что подгруппа вращения — это Spin(3). Мы должны рассматривать её Шаблон:Не переведено 5, потому что мы рассматриваем проективные представления. Она называется малой группой, по имени, данному Юджином Вигнером. Его Шаблон:Не переведено 5 указывает, что неприводимое представление задается прямой суммой всех волокон в векторном расслоении над гиперповерхностью Шаблон:Math волокна которой представляют собой унитарное неприводимое представление Шаблон:Math.

Шаблон:Math — это не что иное, как Шаблон:Math. (См. Шаблон:Не переведено 5, где показано, что унитарные неприводимые представления Шаблон:Math различаются неотрицательным рациональным числом Шаблон:Mvar, кратным половине. По историческим причинам это число было названо спином.)

• Следовательно, для $m\ne 0$ унитарные неприводимые представления классифицируются по массе Шаблон:Mvar, энергии Шаблон:Math и спину Шаблон:Mvar.
• Если масса Шаблон:Mvar отрицательна, то спектр энергий Шаблон:Mvar не ограничен снизу. Следовательно, только случай с положительной массой является допустимым по физическим соображениям.
• Теперь рассмотрим случай, Шаблон:Math. Вследствие унитарности, выражение :$mE-\frac{P^2}{2}=\frac{-P^2}{2}$ является неположительным. Предположим, что оно равна нулю. Здесь это также бусты, а также ротации, которые составляют малую группу. Любое унитарное неприводимое представление этой малой группы также порождает проективное неприводимое представление галилеевой группы. По-видимому, только случай тривиального преобразования в рамках малой группы имеет физическую интерпретацию — он соответствует состоянию без частиц, Шаблон:Не переведено 5.

Случай, когда инвариант отрицателен, требует дополнительного комментария. Это соответствует классу представления для Шаблон:Mvar = 0 и ненулевого $\overrightarrow{P}$. Расширяя классификацию тардиона, люксона,тахиона от теории представлений группы Пуанкаре до аналогичной классификации, здесь можно назвать эти состояния синхронами. Они представляют собой мгновенную передачу ненулевого импульса на (возможно, большое) расстояние. С ними связан, по вышесказанному, «временной» оператор

$t=-\frac{\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{C}}{P^2},$

который может быть идентифицирован со временем передачи. Эти состояния, естественно, интерпретируются как носители сил мгновенного действия на расстоянии.

В Шаблон:Math — мерной группе Галилея генератор буста может быть разложен на

$\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{W}\times \overrightarrow{P}}{P^2}-\overrightarrow{P}t,$

с $\overrightarrow{W}$ играющим роль, аналогичную спиральности.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Классификация Вигнера
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Ссылки

• Bargmann, V. (1954). «On Unitary Ray Representations of Continuous Groups», Annals of Mathematics, Second Series, 59, No. 1 (Jan., 1954), pp. 1–46
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications (Dover Books on Mathematics) Шаблон:ISBN