Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр

Три́жды отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₈₃, по Залгаллеру — М₁₃).

Составлен из 32 граней: 5 правильных треугольников, 15 квадратов, 9 правильных пятиугольников и 3 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 6 окружены двумя десятиугольными и тремя квадратными, остальные 3 — десятиугольной и четырьмя квадратными; среди квадратных граней 3 окружены двумя десятиугольными и двумя пятиугольными, 9 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, остальные 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 75 рёбер одинаковой длины. 15 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 15 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 30 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 15 — между квадратной и треугольной.

У трижды отсечённого ромбоикосододекаэдра 45 вершин. В 30 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 15 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, отсекши от того три пятискатных купола (J₅). Вершины полученного многогранника — 45 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 75 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у трижды отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(60+5\sqrt{3}+(30+9\sqrt{5})\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2\approx 55,7319866a^2,$

$V=\frac{1}{6}(105+46\sqrt{5})a^3\approx 34,6431878a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}a\approx 2,2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt{5}}a\approx 2,1762509a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld