Удлинённая пятиугольная пирамида

Удлинённая пятиуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона (J₉, по Залгаллеру — М₃+П₅).

Составлена из 11 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной, двумя квадратными и треугольной; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между двумя квадратными, 5 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 5 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 5 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу основаниями.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(20+5\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 8,8855409a^2,$

$V=\frac{1}{24}(5+\sqrt{5}+6\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^3\approx 2,0219802a^3.$

В координатах

Удлинённую пятиугольную пирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $(\pm 1;-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}};\pm 1),$
• $(\pm \frac{1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}};\pm 1),$
• $(0;\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{5}};\pm 1),$
• $(0;0;1+\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{5}}).$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из пяти плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld