Удлинённый четырёхскатный купол

Удлинённый четырёхска́тный ку́пол — один из многогранников Джонсона (J₁₉, по Залгаллеру — М₅+П₈).

Составлен из 18 граней: 4 правильных треугольников, 13 квадратов и 1 правильного восьмиугольника. Восьмиугольная грань окружена восемью квадратными; среди квадратных граней 4 окружены восьмиугольной и тремя квадратными, 4 — восьмиугольной, двумя квадратными и треугольной, 1 — четырьмя квадратными, остальные 4 — двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между восьмиугольной и квадратной гранями, 16 рёбер — между двумя квадратными, остальные 12 — между квадратной и треугольной.

У удлинённого четырёхскатного купола 20 вершин. В 8 вершинах сходятся восьмиугольная и две квадратных грани; в остальных 12 — три квадратных и треугольная.

Удлинённый четырёхскатный купол можно получить из двух многогранников — четырёхскатного купола (J₄) и правильной восьмиугольной призмы, все рёбра у которой равны, — приложив их друг к другу восьмиугольными гранями.

Кроме того, удлинённый четырёхскатный купол можно получить из ромбокубооктаэдра, отсекши от того один четырёхскатный купол. Вершины полученного многогранника — 20 из 24 вершин ромбокубооктаэдра, рёбра — 36 из 48 рёбер ромбокубооктаэдра; отсюда ясно, что у удлинённого четырёхскатного купола тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбокубооктаэдра.

Метрические характеристики

Если удлинённый четырёхскатный купол имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(15+2\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2\approx 19,5604779a^2,$

$V=(3+\frac{8\sqrt{2}}{3})a^3\approx 6,7712362a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{2}}a\approx 1,3989663a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}a\approx 1,3065630a.$

В координатах

Удлинённый четырёхскатный купол с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• $(\pm (1+\sqrt{2});\pm 1;\pm 1),$
• $(\pm 1;\pm (1+\sqrt{2});\pm 1),$
• $(\pm 1;\pm 1;1+\sqrt{2}).$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых четырёхскатных куполов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений вместе с правильными тетраэдрами и кубами; вместе с кубами и кубооктаэдрами; вместе с удлинёнными четырёхугольными пирамидами (J₈) и удлинёнными четырёхугольными бипирамидами (J₁₅) — последние два многогранника можно также разрезать на кубы и квадратные пирамиды (J₁) (см. иллюстрации).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld