Уравнение Рэлея — Плессета

Уравнение Рэлея — Плессета часто применяется для изучения кавитационных пузырьков, которые, как показано выше, формируются за гребным винтом.

Уравнение Рэлея — Плессета (уравнение Безанта — Рэлея — Плессета) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, которое определяет динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости:

$R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{4{\nu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+\frac{2\sigma }{{\rho }_{L}R}+\frac{\mathrm{\Delta }P(t)}{{\rho }_L}=0$,

где

${\rho }_L$ — плотность окружающей жидкости, считающаяся постоянной

$R(t)$ — радиус пузыря

${\nu }_L$ — кинематическая вязкость окружающей жидкости, считающаяся постоянной.

$\sigma$ — поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость

$\mathrm{\Delta }P(t)=P_{\mathrm{\infty }}(t)-P_B(t)$, где $P_B(t)$ — давление внутри пузырька, считается однородным, и $P_{\mathrm{\infty }}(t)$ — внешнее давление, бесконечно удаленное от пузыря

При условии, что $P_B(t)$ известно и $P_{\mathrm{\infty }}(t)$ задано, то для решения задачи об изменяющемся во времени радиусе пузырька $R(t)$ можно использовать уравнение Рэлея — Плессета.

Уравнение Рэлея — Плессета выводится из уравнений Навье — Стокса в предположении сферической симметрии.

История

Без учёта поверхностного натяжения и вязкости уравнение было впервые опубликовано Шаблон:Iw в книге 1859 года со следующей формулировкой задачи: бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке жидкости и время, за которое полость заполнится, при этом давление на бесконечном расстоянии должно оставаться постоянным. Безант предсказал время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса $R_0$:

$\begin{array}{cc}t& =R_0\sqrt{\frac{6\rho }{P_{\mathrm{\infty }}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{z^{4}dz}{\sqrt{1-z^6}}\\ & =R_0\sqrt{\frac{\pi \rho }{6P_{\mathrm{\infty }}}}\frac{\mathrm{\Gamma }(5/6)}{\mathrm{\Gamma }(4/3)}\\ & \approx 0,91468R_0\sqrt{\frac{\rho }{P_{\mathrm{\infty }}}}\end{array}$

Лорд Рэлей нашёл более простой вывод того же результата, который основан на законе сохранения энергии. Кинетическая энергия втекающей жидкости равна $2\pi \rho U^2{R}^3$, где $R$ — зависящий от времени радиус пустоты, а $U$ — радиальная скорость жидкости в ней. Работа, совершаемая жидкостью, вдавливающейся в бесконечность, равна $4\pi P_{\mathrm{\infty }}(R_0^3-R^3)/3$. Приравнивание этих двух энергий дает соотношение между $R$ и $U$. Тогда, отмечая, что $U=\partial R/\partial t$, методом разделения переменных получаем результат Безанта. Рэлей пошёл дальше Безанта, оценив интеграл (бета-функцию Эйлера) через гамма-функции. Рэлей применил этот подход к случаю полости (пузырьку), заполненной идеальным газом, включив работу, совершаемую при сжатии газа.

Для случая абсолютной пустоты Рэлей определил, что давление $P$ в жидкости при радиусе $r$ определяется следующим образом:

$\frac{P}{P_{\mathrm{\infty }}}-1=\frac{R}{3r}(\frac{R_0^3}{R^3}-4)-\frac{R^4}{3r^4}(\frac{R_0^3}{R^3}-1)$ .

Когда объём пустоты составляет не менее четверти своего начального объёма, давление монотонно убывает от $P_{\mathrm{\infty }}$ на бесконечности до нуля в $R$. По мере дальнейшего сжатия пустоты максимум давления, превышающий $P_{\mathrm{\infty }}$, появляется при

$r^3=\frac{4(R_0^3-R^3)R^3}{R_0^3-4R^3}$,

очень быстро растёт и сходится в пустоте.

Впервые это уравнение было применено к движущимся кавитационным пузырькам Шаблон:Iw в 1949 году путём включения в него эффектов поверхностного натяжения.

Вывод уравнения

Численное интегрирование уравнения Рэлея — Плессета, включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально находясь в покое при атмосферном давлении c R0=50 мкм, пузырек расширяется с собственной частотой под действием колебательного давления, а затем схлопывается.

Численное интегрирование уравнения Рэлея — Плессета с учётом поверхностного натяжения и вязкости. Первоначально находясь в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0=50 мкм, пузырек под действием перепада давления расширяется, а затем схлопывается.

Уравнение Рэлея — Плессета можно полностью вывести на основе первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра. Для сферического пузыь радиус $R(t)$ которого зависит от времени, где $t$ — это время. Предположим, что в пузырьке находится однородно распределённый пар/газ с равномерной температурой $T_B(t)$ и давлением $P_B(t)$. За пределами пузырька находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью ${\rho }_L$ и динамической вязкостью ${\mu }_L$. Пусть температура и давление вдали от пузырька равны $T_{\mathrm{\infty }}$ и $P_{\mathrm{\infty }}(t)$. Температура $T_{\mathrm{\infty }}$ предполагается постоянной. На радиальном расстоянии $r$ от центра пузырька изменяющимися свойствами жидкости являются давление $P(r,t)$, температура $T(r,t)$ и скорость движения в радиальном направлении $u(r,t)$. Эти свойства жидкости определяются только вне пузырька, то есть $r\ge R(t)$.

Сохранение массы

В силу сохранения массы закон обратных квадратов требует, чтобы радиально направленная скорость $u(r,t)$ была обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька). Поэтому, пусть $F(t)$ есть некоторая функция времени,

$u(r,t)=\frac{F(t)}{r^2}$.

В случае нулевого переноса массы через поверхность пузырька скорость на границе раздела должна быть равна

$u(R,t)=\frac{dR}{dt}=\frac{F(t)}{R^2}$,

откуда

$F(t)=R^{2}dR/dt$.

В случае переноса массы её скорость увеличения внутри пузыря определяется выражением

$\frac{d{m}_V}{dt}={\rho }_V\frac{dV}{dt}={\rho }_V\frac{d(4\pi R^3/3)}{dt}=4\pi {\rho }_V{R}^2\frac{dR}{dt},$

где $V$ — это объём пузыря. Если $u_L$ — скорость жидкости относительно пузырька при $r=R$, то масса, поступающая в пузырек, определяется выражением

$\frac{d{m}_L}{dt}={\rho }_{L}A{u}_L={\rho }_L(4\pi R^2)u_L$.

Здесь $A$ — это площадь поверхности пузыря. В силу сохранения массы $d{m}_v/dt=d{m}_L/dt$, поэтому $u_L=({\rho }_V/{\rho }_L)dR/dt$. Следовательно

$u(R,t)=\frac{dR}{dt}-u_L=\frac{dR}{dt}-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L}\frac{dR}{dt}=(1-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L})\frac{dR}{dt}$.

Таким образом, получаем

$F(t)=(1-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L})R^2\frac{dR}{dt}$.

Во многих случаях плотность жидкости значительно превышает плотность пара ${\rho }_L\gg {\rho }_V$, так что $F(t)$ может быть аппроксимирована исходной формой нулевого массопереноса $F(t)=R^{2}dR/dt$, так что

$u(r,t)=\frac{F(t)}{r^2}=\frac{R^2}{r^2}\frac{dR}{dt}$.

Сохранение импульса

Полагая, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость, несжимаемое уравнение Навье-Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении, получаем

${\rho }_L(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r})=-\frac{\partial P}{\partial r}+{\mu }_L[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)-\frac{2u}{r^2}]$.

Замена кинематической вязкости ${\nu }_L={\mu }_L/{\rho }_L$ и перестановка даёт

$-\frac{1}{{\rho }_L}\frac{\partial P}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r}-{\nu }_L[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)-\frac{2u}{r^2}]$.

При этом подставляя $u(r,t)$ из условия сохранения массы, получаем

$-\frac{1}{{\rho }_L}\frac{\partial P}{\partial r}=\frac{2R}{r^2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{R^2}{r^2}\frac{d^{2}R}{d{t}^2}-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2=\frac{1}{r^2}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$.

Стоит отметить, что вязкие члены исчезают во время замены. Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька $r=R$ к $r\to \mathrm{\infty }$ даёт

$-\frac{1}{{\rho }_L}\underset{P(R)}{\overset{P(\mathrm{\infty })}{\int }}dP=\underset{R}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{r^2}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2]dr$

$\frac{P(R)-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}={[-\frac{1}{r}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})+\frac{R^4}{2r^4}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2]}_R^{\mathrm{\infty }}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$

Граничные условия

Пусть ${\sigma }_{rr}$ — нормальное напряжение в жидкости, направленное радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости постоянной плотности и постоянной вязкости

${\sigma }_{rr}=-P+2{\mu }_L\frac{\partial u}{\partial r}$.

Следовательно, на некотором небольшом участке поверхности пузырька результирующая сила, действующая на пластинку, на единицу площади равна

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{rr}(R)+P_B-\frac{2\sigma }{R}& =-P(R)+{2{\mu }_L\frac{\partial u}{\partial r}|}_{r=R}+P_B-\frac{2\sigma }{R}\\ & =-P(R)+2{\mu }_L\frac{\partial }{\partial r}{\left(\frac{R^2}{r^2}\frac{dR}{dt}\right)}_{r=R}+P_B-\frac{2\sigma }{R}\\ & =-P(R)-\frac{4{\mu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+P_B-\frac{2\sigma }{R},\\ \end{array}$

где $\sigma$ — это поверхностное натяжение. Если массопереноса через границу нет, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, следовательно

$P(R)=P_B-\frac{4{\mu }_L}{R}\frac{dR}{dt}-\frac{2\sigma }{R}$.

И поэтому результат сохранения импульса становится

$\frac{P(R)-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}=\frac{P_B-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}-\frac{4{\mu }_L}{{\rho }_{L}R}\frac{dR}{dt}-\frac{2\sigma }{{\rho }_{L}R}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$

тем самым переставляя и заменяя ${\nu }_L={\mu }_L/{\rho }_L$, получаем уравнение Рэлея — Плессета

$\frac{P_B(t)-P_{\mathrm{\infty }}(t)}{{\rho }_L}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{4{\nu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+\frac{2\sigma }{{\rho }_{L}R}$

Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея — Плессета можно записать как:

$\frac{P_B(t)-P_{\mathrm{\infty }}(t)}{{\rho }_L}=R\ddot{R}+\frac{3}{2}(\dot{R}{)}^2+\frac{4{\nu }_L\dot{R}}{R}+\frac{2\sigma }{{\rho }_{L}R}$

Решения

В 2014 году были найдены аналитические решения в замкнутой форме для уравнения Рэлея — Плессета как для пустого, так и для газонаполненного пузырька и были обобщены на N-мерный случай. Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение возникает за счёт эффекта капиллярности.

Кроме того, для частного случая, когда пренебрегают поверхностным натяжением и вязкостью, также известны аналитические аппроксимации высокого порядка.

В статическом случае уравнение Рэлея — Плессета упрощается, преобразуясь к Шаблон:Iw:

$P_B-P_{\mathrm{\infty }}=\frac{2\sigma }{R}$.

Когда рассматриваются только бесконечно малые периодические колебания радиуса и давления пузырька, уравнение Рэлея — Плессета также даёт выражение собственной частоты колебаний пузырька.