Эволюционный процесс (математика)

Эволюцио́нный проце́сс (процесс с дифференциальным законом развитияШаблон:Sfn) (Шаблон:Lang-en, от лат. evolutio ― развёртываниеШаблон:Sfn и processus — продвижениеШаблон:Sfn) ― процесс, обладающий свойством детерминированности, конечномерности и дифференцируемостиШаблон:Sfn.

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной областиШаблон:Sfn?

Определения

Детерминированный процесс

Детерминированный процесс — процесс, для которого состояние в настоящее время однозначно определяет как весь его будущий ход (то есть будущие состояния), так и всё его прошлое (то есть прошлые состояния)Шаблон:Sfn.

Фазовое пространство детерминированного процесса — множество всевозможных состояний процессаШаблон:Sfn.

Фазовая точка — точка фазового пространстваШаблон:Sfn.

Примеры. Детерминированные процессы в классической механике суть движение таких механических систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными условиями (то есть начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы). Фазовое пространство механической системы — множество, элемент которого есть набор положений и скоростей всех точек системыШаблон:Sfn.

Недетерминированный процесс — движение частиц в квантовой механикеШаблон:Sfn.

Полудетерминированный процесс — распространение тепла, для которого будущее определяется настоящим, а прошлое — нетШаблон:Sfn.

Конечномерный процесс

Конечномерный процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого конечномерно, то есть описывается конечным числом параметровШаблон:Sfn.

Примеры. Конечномерный процесс — ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твёрдых тел. Фазовые пространства этих систем имеют следующие размерностиШаблон:Sfn:

• систем из $n$ материальных точек — $6n$;
• система из $n$ твёрдых тел — $12n$.

Бесконечномерные процессы — движение жидкостей и газа в гидродинамике, колебания струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустикеШаблон:Sfn.

Дифференцируемый процесс

Дифференцируемый процесс — детерминированный процесс, фазовое пространство которого обладает структурой дифференцируемого многообразия, а его динамика, то есть изменение состояния со временем, описывается дифференцируемыми функциямиШаблон:Sfn.

Примеры. Обыкновенными дифференциальными уравнениями могут быть описаныШаблон:Sfn:

• изменения во времени координат и скоростей точек механической системы в классической механике;
• процессы радиоактивного распада и размножения бактерий (при достаточном питании), имеющие одномерное фазовое пространство, поскольку состояние процесса описывается количеством вещества или бактерий.

Не дифференцируемы движения, возникающие в теории удара. Обыкновенными дифференциальными уравнениями не описываются квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удараШаблон:Sfn.

Замечание. Как вид дифференциального уравнения процесса, так и факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости процесса устанавливается экспериментальным путём, то есть с некоторой степенью точности. Обычно в теории не различают реальные процессы и идеализированные математические моделиШаблон:Sfn.

Фазовое пространство

Задача об автомобилях и возах

Задача об автомобилях и возах. Начальное положение возов

Задача (Н. Н. КонстантиновШаблон:Sfn)(Задача об автомобилях и возах. В. И. Арнольд). Города $A$ и $B$ связаны двумя близкими непересекающиеся дорогами. Два автомобиля, связанные верёвкой длины, меньшей $2l$, проехали по разным дорогам из $A$ в $B$, не порвав верёвки. Могут ли разминуться, не коснувшись, два круглых воза радиуса $l$, центры которых движутся по этим дорогам один из $A$ в $B$, а другой из $B$ в $A$ (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn?

Задача об автомобилях и возах. Фазовое пространство пары экипажей

Решение. Построим фазовое пространство процесса, описанного в задаче. Пусть одна из дорого будет первой, другая — второй. Обозначим через $x_i$ долю расстояния между городами $A$ и $B$ по $i$-дороге, лежащую между городом $A$ и экипажем (автомобилем или возом) на этой дороге. Тогда положение объекта, состоящего из двух одноимённых экипажей (двух автомобилей или двух возов), находящихся на разных дорогах, можно описать точкой следующего квадрата $M$ (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn:

$M=\{x_1,x_2\mid 0⩽x_i⩽1\}.$

Итак, фазовое пространство процесса — этот квадрат, а точки квадрата — фазовые точки. Получается, что каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары одноимённых экипажей, а движение этой пары изображается движением фазовой точки в фазовом пространствеШаблон:Sfn.

Поясним это примерамиШаблон:Sfn:

• начальное положение пары автомобилей (в городе $A$) отвечает левому нижнему углу квадрата с координатами $(0,0)$, а движение пары автомобилей из города $A$ в $B$ есть кривая, ведущая в противоположный угол с координатами $(1,1)$;
• начальное положение пары возов отвечает левому верхнему углу квадрата с координатами $(0,1)$, а движение возов есть кривая, ведущей в противоположный угол квадрата с координатами $(1,0)$ — если возы доехали до своих городов.

Остаётся провести рассуждение от противного. Пусть возы разминулись по дороге и доехали до своих городов. Тогда на фазовом пространстве будут две соответствующие кривые (см. рисунок справа вверху). Но любые две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Следовательно, как бы ни двигались возы, наступит хотя бы один момент, когда пара возов займет то же самое положение $C$ в квадрате, в котором была в некоторый момент времени пара автомобилей. Но в этот момент, по условию задачи, расстояние между центрами возов будет меньше $2l$, что противоречит предположению, что возы разминулись. Итак, возам разминуться не удастсяШаблон:Sfn.

Основная задача теории дифференциальных уравнений

В рассмотренной задаче об автомобилях и возах не присутствуют дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к их изучению: определение состояний эволюционного процесса точками фазового пространства бывает чрезвычайно полезенШаблон:Sfn. Итак, уже одно построение фазового пространства дало возможность решить трудную задачуШаблон:Sfn.

В классической механикеШаблон:Sfn:

• состояние эволюционного процесса движения системы $n$ материальных точек в трёхмерном пространстве определяется их значениями координат и скоростей, поэтому фазовое пространство этой системы имеет размерность $6n$ (по три координаты и три компоненты скорости на каждую точку). Например, фазовое пространство системы трёх точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) 18-мерно;

фазовое пространство системы $n$ твёрдых тел имеет размерность $12n$, поскольку добавляется три координаты, описывающие ориентацию тела в пространстве.

Шаблон:ЯкорьФазовая кривая — траектория движения фазовой точки в фазовом пространствеШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьФазовая скорость — движение фазовой точки по фазовой кривой, которое описывает движение всей системыШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьВектор фазовой скорости — вектор, заданный в каждой фазовой точке фазового пространства, определяющий фазовую скоростьШаблон:Sfn.

Векторное поле фазовой скорости — все векторы фазовой скорости в фазовом пространствеШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьДифференциальное уравнение эволюционного процесса — зависимость скорости движения фазовой точки от её положения, определяемое векторным полемШаблон:Sfn.

Основная задача теории дифференциальных уравнений — определение или исследование движения эволюционной системы по векторному полю фазовой скорости. Например, исследуется вопрос о виде фазовых кривых: уходят ли фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной областиШаблон:Sfn?

Компьютеры приближенно находят решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целомШаблон:Sfn.

Благодаря понятию фазового пространства можно свести исследование эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, которые определяются векторными полямиШаблон:Sfn.

Интегральные кривые поля направлений

Поле направлений

Поле направлений и его интегральная кривая

Поле направлений в области на плоскости — все точки области, причём для каждой точки выбрана проходящая через эту точку прямая, которая называется прямой (направлением) поля направлений, а точка, ей соответствующая — точкой приложения прямой (см. рисунок справа, на котором показана только небольшая часть прямой около точки)Шаблон:Sfn.

Если две гладкие кривые проходят через одну точку и в ней касаются друг друга, то они задают в этой точке одно и то же направление. Поскольку важна только касательная к кривой в точке (см. рисунок справа, где показана касательная к кривой в точке), прямые в определении поля направлений можно заменить гладкими кривыми, касательные которых в точках суть исходные направленияШаблон:Sfn.

Непрерывное (гладкое) поле направлений — поле направлений, у которого прямые поля непрерывно (гладко) зависят от своих точек приложенияШаблон:Sfn.

В дальнейшем все встречающиеся в статье объекты (функции, отображения и так далее) предполагаются гладкими, то есть непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если, конечно, не оговорено противноеШаблон:Sfn.

Поле направлений в $n$-мерном пространстве и вообще на любом гладком многообразии определяется аналогичноШаблон:Sfn.

Интегральная кривая

Интегральная кривая поля направлений — кривая, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке направления поляШаблон:Sfn.

Термин «интегральная кривая» возник потому, что в некоторых случаях интегральная кривая находится применением операции интегрированияШаблон:Sfn.

Поле, инвариантное относительно вертикальных сдвигов

Пример 1. Возможен такой случай, когда непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при любых сдвигах вдоль некоторой прямой и направления, параллельные этой прямой, отсутствуют (см. рисунок справа, на котором эта прямая вертикальная)Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Теорема. Интегральные кривые поля направлений. Поиск интегральных кривых поля направлений, описанного в примере 1, есть отыскание интегралов некоторой непрерывной функцииШаблон:Sfn.

Доказательство. Рассмотрим систему координат, в которой описанная прямая — вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальна. Получаем, что интегральная кривая данного поля, не имеющего вертикальных направлений, — график некоторой неизвестной функции, производная которой равна тангенсу угла наклона графика функции к оси абсцисс. Но график функции — интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен другому тангенсу — угла наклона прямой данного поля направлений к оси абсцисс. Следовательно, этот последний тангенс — известная функция абсциссы (так как поле направлений переходит само в себя при перемещении вдоль оси ординат). Окончательно получаем, что некоторая функция, график которой есть интегральная кривая, имеет производной эту известную функцию абсциссы, то есть является её первообразной, что и требовалось доказатьШаблон:Sfn.

Перепишем условие этой теоремы в формальном виде. Пусть $t$ — абсцисса, а $x$ — ордината. Известную функцию — тангенс угла наклона прямой поля направлений — обозначим через $v(t)$, неизвестную функцию, график которой есть интегральная кривая, — через $\phi$. Кривая $x=\phi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда $\frac{d\phi (t)}{dt}\equiv v(t)$. По теореме Барроу $\phi (t)=\int v(t)dt+C$Шаблон:Sfn.

Следует иметь ввиду, что а общем случае поиск интегральных кривых не сводится к интегрированию: даже для очень простых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых не получается представить в виде конечных комбинаций элементарных функций и интеграловШаблон:Sfn.

Пример 2. Для поля направлений с тангенсом $x^2-t$ угла наклона с осью $x$ прямой, приложенной в точке $(t,x)$, не получается представить уравнения интегральных кривых в виде конечных комбинаций элементарных функций и интегралов (Лиувилль)Шаблон:Sfn.

Дифференциальное уравнение и его решение

Решение дифференциального уравнения

График решения дифференциального уравнения

Геометрический поиск интегральных кривых аналитически выглядит как решение дифференциального уравнения. Пусть поле направлений на плоскости $(t,x)$ не содержит вертикальных направлений (которые параллельны оси ординат $x$ (см. рисунок справа с таким полем). В этих условиях тангенс $v(t,x)$ угла наклона к оси абсцисс прямой поля направлений, приложенной в точке $(t,x)$, конечен, а интегральные кривые — графики функций $x=\phi (t)$. Также пусть область определения функции $\phi (t)$ — интервал $I$ оси $t$ (см. рисунок справа с этими условиями). Тогда достаточно очевидна следующая теоремаШаблон:Sfn.

Теорема. График функции $\phi (t)$ есть интегральная кривая тогда и только тогда, когда при всех $t\in I$ справедливо следующее равенствоШаблон:Sfn:

$\frac{d\phi (t)}{dt}=v(t,\phi (t)).$

Решение дифференциального уравнения $\dot{x}(t)=v(t,x(t))$ — функция $\phi (t)$, если она удовлетворяет равенству $\frac{d\phi (t)}{dt}=v(t,\phi (t))$, то есть уравнение $\dot{x}(t)=v(t,x(t))$ становится тождеством, когда функцию $\phi (t)$ подставляют в него вместо $x$. Другими словами, решение дифференциального уравнения — это функция, заданная на некотором интервале, и график этой функции — интегральная криваяШаблон:Sfn.

Начальные условия

Начальное условие $(t_0,x_0)$ решения $\phi (t)$ — набор фиксированных координат $(t_0,x_0)$, которому удовлетворяет решение $\phi (t)$, то есть имеет место равенство $\phi (t_0)=x_0$. Другими словами, решение удовлетворяет начальному условию $(t_0,x_0)$, если интегральная кривая проходит через данную точку (см. рисунок вверху справа с точкой $(t_0,x_0)$)Шаблон:Sfn.

Пример. Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение $\dot{x}(t)=v(t)$ с начальным условием $(t_0,x_0)$. Его решение определяется формулой БарроуШаблон:Sfn:

$\phi (t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}v(\tau )d\tau .$

Поле направлений функции $v(t)$, или поле направлений уравнения $\dot{x}(t)=v(t,x(t))$ — поле направлений на плоскости, определяемое дифференциальным уравнением, поскольку приложенная в точке $(t,x)$ прямая имеет тангенс угла наклона $v(t,x)$Шаблон:Sfn.

Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством

Автономное уравнение

Автономное дифференциальное уравнение — дифференциальной уравнение, которое явно не зависит от независимой переменной $t$. Скорость эволюции автономной дифференциальной системы, то есть системы, не взаимодействующей с другими системами, определяется только самим состоянием этой системы. Это отражает то обстоятельство, что от времени законы природы не зависятШаблон:Sfn.

Векторное поле и поле направлений для уравнения $\dot{x}=v(x)$

Рассмотрим уравнение, которое описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространствомШаблон:Sfn:

$\dot{x}=v(x)$.

Правая часть этого уравнения определяет векторное поле фазовой скорости, то есть в точке $x$ приложен вектор $v(x)$ (см. левую часть рисунка справа)Шаблон:Sfn.

Положение равновесия (стационарная точка, особая точка) векторного поля — точка, где фазовая скорость $v(x)$ обращается в нуль. Другими словами, если $a$ — положение равновесия, то решение уравнения есть $\phi (t)\equiv a$, то есть эволюционный процесс, начавшись в состоянии положения равновесия $a$, всегда в нём остаётсяШаблон:Sfn.

На рисунке справа присутствует только одно положение равновесия — $a$. Это положение равновесия неустойчиво, то есть при небольшом отклонении начального условия от равновесного фазовая точка с течением времени уходит от положения равновесияШаблон:Sfn.

На рисунке справа также показано поле направлений уравнения $\dot{x}=v(x)$. Поскольку $v(x)$ не зависит от $t$, поле направлений переходит в себя при сдвигах вдоль оси абсцисс $t$Шаблон:Sfn.

Решение автономного уравнения

Теорема. О решении уравнения $\dot{x}=v(x)$. Решение $x=\phi (t)$ автономного уравнения $\dot{x}=v(x)$, у которого:

• правая часть непрерывна и не обращается в $0$;
• начальное условие $(t_0,x_0)$,

есть выражение

$t=t_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{d\xi }{v(\xi )};$

обратно, функция $x=\phi (t)$, определяемая этим выражением, есть решение автономного уравнения $\dot{x}=v(x)$, удовлетворяющее начальному условиюШаблон:Sfn.

Доказательство 1. (доказательство 2 см. ниже.) Интегральные кривые поля направлений автономного уравнения $\dot{x}=v(x)$ находятся, согласно теореме интегральных кривых поля направлений, одним интегрированием (только в той области, где поле направлений не параллельно оси абсцисс $t$, то есть где отсутствуют равновесия, $v(x)\ne 0$). Кроме того, пусть функция $v(x)$ непрерывна и нигде не обращается в нуль. Теперь можно выписать явную формулу, которая определит интегральные кривыеШаблон:Sfn.

Заметим, что тангенс угла наклона поля направлений автономного уравнения $\dot{x}=v(x)$ к оси ординат $x$ равен $\frac{1}{v(x)}$. Поэтому поле направлений уравнения $\frac{dx}{dt}=v(x)$ то же самое, что и поле направлений уравнения $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{v(x)}$. Следовательно, интегральные кривые этих уравнений одинаковые. Наконец, интегральная кривая второго уравнения $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{v(x)}$ определяется формулой Барроу, а именноШаблон:Sfn:

$t=t_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{d\xi }{v(\xi )}.$

Дифференциальная 1-форма

Существует мнемонический способ запомнить формулу

$t=t_0+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{d\xi }{v(\xi )}:$

запишем исходное уравнение в виде $\frac{dx}{dt}=v(x)$ и рассмотрим символ $\frac{dx}{dt}$ как дробь. В этих условиях перепишем уравнение, собрав все $x$ слева, а все $t$ справа: $\frac{dx}{v(x)}=dt$. Проинтегрируем левую и правую части, получим исходное уравнение: $t=\int \frac{dx}{v(x)}$Шаблон:Sfn.

На самом деле этот метод больше, чем просто мнемоническое правило. Лейбниц ввёл такое сложное обозначение $\frac{dx}{dt}$ для определения действительно дроби: $dx$ делённое на $dt$. Потому что эти обозначения $dx$ и $dt$ — не таинственные «бесконечно малые» величины, а нормальные конечные числа — скалярные функции вектора, точнее, проекции вектораШаблон:Sfn.

Числитель и знаменатель дроби $\frac{dx}{dt}$

Пусть дан вектор $A$ скорости некоторого движения, приложенный в какой-либо точке на плоскости с фиксированными координатами $(t,x)$ (см. рисунок справа с касательным вектором $A$). Рассмотрим две скалярные функции этого вектора $A$ при этом движенииШаблон:Sfn:

• линейная скорость $dt(A)$ изменения координаты $t$;
• линейная скорость $dx(A)$ изменения координаты $x$.

Например, значение этих скалярных функции на векторе $A$ с компонентами $(10,20)$ есть соответственно $dt(A)=10$ и $dx(A)=20$. Поэтому $A$ имеет компоненты $(dt(A),dx(A))$. Приходим к следующему предложениюШаблон:Sfn.

Предложение. Пусть дана гладкая функция $x=\phi (t)$. Для любого вектора $A$, который касается её графика в некоторой точке, отношение скалярных функций $\frac{dx(A)}{dt(A)}$ равно производной $\frac{dx}{dt}$ функции $\phi (t)$ в этой точкеШаблон:Sfn.

Другими словами, уравнение $\frac{dx}{v(x)}=dt$ есть выражение с линейными скалярными функциями от некоторого приложенного вектора, который касается интегральной кривойШаблон:Sfn.

Дифференциальная 1-форма — скалярная функция приложенного вектора, линейная при фиксированной точке приложенияШаблон:Sfn.

Следовательно, любую дифференциальную 1-форму на плоскости $(t,x)$ можно записать в следующем виде:

$\omega =adt+bdx$,

где $a$ и $b$ — некоторые функции на плоскостиШаблон:Sfn.

Интеграл дифференциальной 1-формы

Определение интеграла 1-формы.

Рассмотрим интегрирование дифференциальных форм вдоль ориентированных отрезков кривых. Пусть дана кривая на плоскости $\mathrm{\Gamma }$. Выберем на её отрезке ориентирующий параметр $u$, то есть представим $\mathrm{\Gamma }$ в виде образа гладкого отображения $\gamma :I\to ℝ$ (рис. 8) отрезка вещественной оси $I$ в плоскость (см. рисунок справа с кривой $\mathrm{\Gamma }$ и отрезком $I$). Тогда интеграл 1-формы $\omega$ вдоль кривой $\mathrm{\Gamma }$ определяется как вещественное число следующим образомШаблон:Sfn:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\omega ({\gamma }^{\prime })du,$ где ${\gamma }^{\prime }=\frac{d\gamma }{du}.$

Формально, интеграл 1-формы — это предел интегральных сумм $\text{∑}\omega (A_i)$ со следующими обозначениями (см. рисунок справа с этими обозначениями)Шаблон:Sfn:

• $A_i={\gamma }^{\prime }(u_i){\mathrm{\Delta }}_i$;
• $u_i$ — точки, которыми отрезок вещественной оси $I$ делится на отрезки с длинами ${\mathrm{\Delta }}_i=u_{i+1}-u_i$;
• вектор $A_i$ касается кривой $\mathrm{\Gamma }$, причём он отличается от вектора хорды, которая соединяет последовательные точки деления на кривой $\mathrm{\Gamma }$, только малыми высшего порядка относительно ${\mathrm{\Delta }}_i$.

Формула замены переменной в определенном интеграле позволяет сформулировать следующие два предложениеШаблон:Sfn.

Предложение 1. Интеграл 1-формы $\omega$, взятый по ориентированному отрезку кривой, не зависит от выбора согласованного с ориентацией параметра (при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак)Шаблон:Sfn.

Предложение 2. Интеграл 1-формы $f(x)dx$, взятый no отрезку кривой, на котором переменная $x$ есть параметр, равен обычному определенному интегралу функции $f(x)$Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Теперь вернёмся к теореме о решении уравнения $\dot{x}=v(x)$Шаблон:Sfn.

Доказательство 2. Значения дифференциальных 1-форм $\frac{dx}{v(x)}$ и $dt$ на векторах, касающихся интегральной кривой $\mathrm{\Gamma }$, совпадают. Следовательно, их интегралы вдоль участка кривой равны. Тогда, согласно последнему предложению 2, интеграл 1-формы $dt$ равен левой, а 1-формы $\frac{dx}{v(x)}$ — правой части следующей формулыШаблон:Sfn:

$t-t_0=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{d\xi }{v(\xi )}.$

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H