Эллиптическая модульная лямбда-функция

В математике эллиптическая модульная лямбда-функция является неэлементарной голоморфной функцией на верхней полуплоскости комплексных чисел. Эта функция является неизменной относительно конгруэнтной подгруппы Γ(2). Она описывается как главный модуль (по-немецки Hauptmodul) модулярной кривой X(2).

Определение

Функция определяется как четвертая степень частного тета-функций Карла Густава Якоба Якоби:

$\lambda (\tau )=\frac{{\theta }_2^4(0,\tau )}{{\theta }_3^4(0,\tau )}=\frac{{\vartheta }_2^4[0;\exp (i\pi \tau )]}{{\vartheta }_3^4[0;\exp (i\pi \tau )]}$

Важная дополнительная информация:

${\theta }_2(0,\tau )={\vartheta }_2[0;\exp (i\pi \tau )]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left[i\pi \tau \right(k+\frac{1}{2}{)}^2]$

${\theta }_3(0,\tau )={\vartheta }_3[0;\exp (i\pi \tau )]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (i\pi \tau k^2)$

Свойства

Конгруэнтная подгруппа Γ(2) эллиптической лямбда-функции имеет следующую структуру:

$\Gamma (2)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})|a\equiv d\equiv 1(\mathrm{mod}2);b\equiv c\equiv 0(\mathrm{mod}2)\}=⟨\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)⟩$

Фундаментальная область имеет следующий образец:

${\mathrm{F}}_{\lambda }=\{\tau :\tau \in ℍ\wedge [[\mathrm{Re}(\tau )\in (-1,1)\wedge \min (|\tau -\frac{1}{2}|;|z+\frac{1}{2}|)>\frac{1}{2}]\vee \mathrm{Re}(\tau )=-1\vee |\tau +\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\left]\right\}$

Верхняя полуплоскость комплексных чисел имеет следующую классификацию:

$ℍ=\{\gamma ◯\tau :\tau \in {\mathrm{F}}_{\lambda }\wedge \gamma \in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})\wedge \gamma \equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{mod}(2)\}$

Модульные превращения

Действительны следующие функциональные уравнения:

$\lambda (-\frac{1}{\tau })=1-\lambda (\tau )$

$\lambda (-\frac{\tau }{1-\tau })=\frac{1}{\lambda (\tau )}$

$\lambda (\tau +1)=\frac{\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}$

Существует следующая инвариантность голоморфной лямбда-функции:

$\tau ⟼\tau +2;\tau ⟼\frac{\tau }{1-2\tau }$

Эллиптический модуль

Функция лямбда-звезда λ*(x) дает эллиптический модуль, так что частное от полного эллиптического интеграла первого рода пифагорова комплементарного элемента, деленного на полный эллиптический интеграл первого рода от самого модуля, равно квадратному корню из x.

$K[\sqrt{1-{\lambda }^{\ast }(x{)}^2}]/K[{\lambda }^{\ast }(x)]=\sqrt{x}$

Значения эллиптической модульной функции лямбда-звезда можно вычислить следующим образом:

${\lambda }^{\ast }(x)=\frac{{\vartheta }_2[0;\exp (-\pi \sqrt{x}){]}^2}{{\vartheta }_3[0;\exp (-\pi \sqrt{x}){]}^2}$

${\lambda }^{\ast }(x)=\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [-(a+\frac{1}{2}{)}^2\pi \sqrt{x}]{\}}^2[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-a^2\pi \sqrt{x}){]}^{-2}$

${\lambda }^{\ast }(x)=\{\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}[(a+\frac{1}{2})\pi \sqrt{x}\left]\right\}[\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{sech}(a\pi \sqrt{x}){]}^{-1}$

Частные значения

Эллиптические формулы

Лямбда-звезда положительных рациональных чисел всегда являются положительными алгебраическими числами.

${\lambda }^{\ast }(x\in {\mathbb{Q}}^{+})\in {𝔸}^{+}$

Следующее уравнение действительно для всех натуральных чисел n ∈ ℕ:

$\sqrt{n}=\sum _{a=1}^n\mathrm{dn}\left\{\frac{2a}{n}K\right[{\lambda }^{\ast }\left(\frac{1}{n}\right)];{\lambda }^{\ast }(\frac{1}{n}\left)\right\}$

Эллиптические функции Якоби выражаются сокращениями sn, cn и dn.

${\lambda }^{\ast }(n^{2}x)={\lambda }^{\ast }(x{)}^n\prod _{a=1}^n\mathrm{sn}{\{\frac{2a-1}{n}K[{\lambda }^{\ast }(x)];{\lambda }^{\ast }(x)\}}^2$

Число x должно быть положительным числом, а n должно быть натуральным числом.

Алгебраические отношения

Эти симметричные алгебраические отношения существуют:

${\lambda }^{\ast }(x{)}^2+{\lambda }^{\ast }(1/x{)}^2=1$

${\lambda }^{\ast }(4x)=\frac{1-\sqrt{1-{\lambda }^{\ast }(x{)}^2}}{1+\sqrt{1-{\lambda }^{\ast }(x{)}^2}}=\tan \{\arcsin [{\lambda }^{\ast }(x)]/2{\}}^2$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]\}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(4/x)]\}=1$

${\lambda }^{\ast }(x){\lambda }^{\ast }(4/x)+{\lambda }^{\ast }(x)+{\lambda }^{\ast }(4/x)=1$

${\lambda }^{\ast }(x)-{\lambda }^{\ast }(9x)=2{\lambda }^{\ast }(x{)}^{1/4}{\lambda }^{\ast }(9x{)}^{1/4}-2{\lambda }^{\ast }(x{)}^{3/4}{\lambda }^{\ast }(9x{)}^{3/4}$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]\}-\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(9x)]\}=$

$=2\sqrt{2}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]{\}}^{1/4}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(9x)]{\}}^{1/4}+2\sqrt{2}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]{\}}^{3/4}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(9x)]{\}}^{3/4}$

$\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]{\}}^{1/2}-\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(25x)]{\}}^{1/2}=$

$=2\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]{\}}^{1/12}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(25x)]{\}}^{1/12}+2\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(x)]{\}}^{5/12}\tan \{2\arctan [{\lambda }^{\ast }(25x)]{\}}^{5/12}$

Точные значения

Важные константы, используемые в следующих:

имя константы	алгебраическое выражение	уравнение
Золотое сечение	$\Phi =\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)$	${\Phi }^2-\Phi -1=0$
Серебряное сечение	${\delta }_S=\sqrt{2}+1$	${\delta }_S^2-2{\delta }_S-1=0$
Бронзовое сечение	${\delta }_B=\frac{1}{2}(\sqrt{13}+3)$	${\delta }_B^2-3{\delta }_B-1=0$
Постоянная трибоначчи	$T_{TRI}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+\frac{1}{3}$	$T_{TRI}^3-T_{TRI}^2-T_{TRI}-1=0$
Пластическое число	$\rho =\frac{1}{6}\sqrt[3]{12}(\sqrt[3]{9+\sqrt{69}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{69}})$	${\rho }^3-\rho -1=0$
Сверхзолотое сечение	$\psi =\frac{1}{6}\sqrt[3]{116+12\sqrt{93}}+\frac{1}{6}\sqrt[3]{116-12\sqrt{93}}+\frac{1}{3}$	${\psi }^3-{\psi }^2-1=0$

Первые десять значений:

${\lambda }^{\ast }(1)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

${\lambda }^{\ast }(2)=\sqrt{2}-1={\delta }_S^{-1}$

${\lambda }^{\ast }(3)=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$

${\lambda }^{\ast }(4)=(\sqrt{2}-1{)}^2={\delta }_S^{-2}$

${\lambda }^{\ast }(5)=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{5}-1}-\frac{1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}({\Phi }^{-1/2}-{\Phi }^{-1})$

${\lambda }^{\ast }(6)=(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

${\lambda }^{\ast }(7)=\frac{1}{8}\sqrt{2}(3-\sqrt{7})$

${\lambda }^{\ast }(8)=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2\sqrt{2}+2}{)}^2=({\delta }_S-\sqrt{2{\delta }_S}{)}^2$

${\lambda }^{\ast }(9)=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}-\sqrt[4]{3})$

${\lambda }^{\ast }(10)=(\sqrt{10}-3)(\sqrt{2}-1{)}^2$

Дальнейшие значения нечетных чисел:

${\lambda }^{\ast }(11)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{11}+3)(\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}+2\sqrt{11}}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6\sqrt{3}-2\sqrt{11}}+\frac{1}{3}\sqrt{11}-1{)}^4=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{2}{T}_{TRI}^{-4}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{2}{T}_{TRI}^{-4}}$

${\lambda }^{\ast }(13)=\frac{1}{2}\sqrt{5\sqrt{13}-17}-\frac{1}{2}\sqrt{19-5\sqrt{13}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+{\delta }_B^{-3}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-{\delta }_B^{-3}}$

${\lambda }^{\ast }(15)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$

${\lambda }^{\ast }(17)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(\sqrt{3\sqrt{17}+11}-\sqrt{5+\sqrt{17}}-\sqrt[4]{4\sqrt{17}+16}+\sqrt[4]{4\sqrt{17}-16}{)}^2$

${\lambda }^{\ast }(19)=\frac{1}{16}\sqrt{2}(3\sqrt{19}+13)[\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2+\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}-\sqrt{19}}-\frac{1}{6}(\sqrt{19}-2-\sqrt{3})\sqrt[3]{3\sqrt{3}+\sqrt{19}}-\frac{1}{3}(5-\sqrt{19}){]}^4$

${\lambda }^{\ast }(21)=\frac{1}{8}(\sqrt{14}-\sqrt{6})[(\sqrt{3}+1)\sqrt{2\sqrt{7}-4}-4+\sqrt{7}-\sqrt{3}]$

${\lambda }^{\ast }(23)=\frac{1}{32}\sqrt{2}(5+\sqrt{23})[\frac{2}{3}+\frac{1}{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt[3]{100-12\sqrt{69}}-\frac{1}{6}(\sqrt{3}-1)\sqrt[3]{100+12\sqrt{69}}{]}^4=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{8}{\rho }^{-12}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{8}{\rho }^{-12}}$

${\lambda }^{\ast }(25)=\frac{1}{2}\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)(3-2\sqrt[4]{5})$

${\lambda }^{\ast }(31)=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{8}{\psi }^{-12}}-\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{8}{\psi }^{-12}}$

${\lambda }^{\ast }(37)=\frac{1}{2}\sqrt{1+(\sqrt{37}-6{)}^3}-\frac{1}{2}\sqrt{1-(\sqrt{37}-6{)}^3}$

Литература

• Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 281, Springer-Verlag, pp. 108–121, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001
• Selberg, A. and Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function." J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, Zbl 0543.33001
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pp. 139 and 298, 1987.
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), "Monstrous moonshine", Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399, Zbl 0424.20010
• Conway, J. H. and Norton, S. P. "Monstrous Moonshine." Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.
• Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), "Elliptic Modular Function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Rankin, Robert A. (1977), Modular Forms and Functions, Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020