Эта-функция Дирихле

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа Шаблон:Math, у которого действительная часть больше 0:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\dots$

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана Шаблон:Math, поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как Шаблон:Math. Выполняются следующие равенства:

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s),$

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx.$

($\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

$\eta (s)=-{\mathrm{Li}}_s(-1)(\mathrm{Re}s>0),$

$\zeta (s)={\mathrm{Li}}_s(1)(\mathrm{Re}s>1).$

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

$\eta (-s)=2\frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1),$

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Шаблон:Math.

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки Шаблон:Math такие, что $s_n=1+2n\pi i/\ln 2,$ где $n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ (целое число, не равное 0).

Значения в некоторых точках

$\eta (1)=\ln 2\approx 0,69314718.$

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}\approx 0,82246703.$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}\approx 0,94703283.$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}\approx 0,98555109.$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}\approx 0,99623300.$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}\approx 0,99903951.$

$\eta (12)=\frac{1414477{\pi }^{12}}{1307674368000}\approx 0,99975769.$

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

$\eta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\pi }^{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!},$

где $B_k$ — числа Бернулли.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite arXiv