Эффект Шубникова — де Хааза

Эффект Шубникова — де Хааза (эффект Шубникова — де Гааза) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).

Причина возникновения

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

$E_n^{LL}=\hslash {\omega }_c(n+\frac{1}{2}),$

где $\hslash$ — постоянная Планка, ${\omega }_c=\frac{eB}{m^{*}c}$ — циклотронная частота осциллятора Ландау, $m^{*}$ — эффективная масса электрона, $n=0,1,2...$ — номер уровня Ландау, $c$ — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ $DOS(\epsilon )$ в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

$DOS(\epsilon )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\delta (\epsilon -\hslash {\omega }_c(n+\frac{1}{2})).$

Пусть уровень Ферми $E_F$ зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии $E_F=E_n^{LL}$ уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода $\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{B}\right)$ определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

$n_{2DEG}=\frac{2e}{h}\frac{1}{\mathrm{\Delta }(1/B)},$

где $e$ — заряд электрона, $h$ — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Двумерный случай

Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости $xy$) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой $m^{*}$. Сильное магнитное поле $𝑩$ направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство ${\omega }_c\tau \gg 1$ (${\omega }_c=eB/m^{*}c$ — циклотронная частота), то есть энергетический спектр квантован. Температуру $T$ полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями $\hslash {\omega }_c\gg T,\hslash /\tau$, $\tau$ — время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:

${\sigma }_{xx}={\sigma }_{yy}=\frac{{\sigma }_0}{1+{\left({\omega }_c\tau \right)}^2}[1+\frac{2{\left({\omega }_c\tau \right)}^2}{1+{\left({\omega }_c\tau \right)}^2}\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0}]$,

${\sigma }_{xy}=-{\sigma }_{yx}=-\frac{{\sigma }_0{\omega }_c\tau }{1+{\left({\omega }_c\tau \right)}^2}\{1-\frac{3{\left({\omega }_c\tau \right)}^2+1}{{\left({\omega }_c\tau \right)}^2[1+{\left({\omega }_c\tau \right)}^2]}\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0}\}$,

где ${\sigma }_0$ — электропроводность в отсутствии магнитного поля, определяемая формулой Друде.

Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний $\mathrm{\Delta }\nu$ к плотности состояний в отсутствие магнитного поля, ${\nu }_0\gg \mathrm{\Delta }\nu$:

$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0}=2\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\exp (-\frac{\pi s}{{\omega }_c\tau })\frac{2{\pi }^{2}T/\left(\hslash {\omega }_c\right)}{\sinh (2{\pi }^{2}T/\left(\hslash {\omega }_c\right))}\cos (\frac{2\pi s{\epsilon }_F}{\hslash {\omega }_c}-\pi s)$,

где ${\epsilon }_F$ — энергия ФермиШаблон:Sfn.

Компоненты тензора сопротивления ${\rho }_{ik}$ , обратного тензору проводимости, ${\sigma }_{ik}^{-1}={\rho }_{ik}$, имеют простой видШаблон:Sfn:

${\rho }_{xx}=\frac{1}{{\sigma }_0}(1+2\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0})$,

${\rho }_{xy}=\frac{{\omega }_c\tau }{{\sigma }_0}(1-\frac{1}{{\left({\omega }_c\tau \right)}^2}\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{{\nu }_0})$.

Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней ($g_{zz}{\mu }_{B}B\ll \hslash {\omega }_c$, ${\mu }_B$ — магнетон Бора, $g_{zz}$ — компонента тензора g—фактора электронов).

Трёхмерный случай

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газаШаблон:Sfn

${\sigma }_{xx}={\sigma }_0(1+\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_r\cos (2\pi \eta r-\frac{\pi }{4}))$

$b_r=(-1{)}^r\frac{5}{2}\frac{1}{(2\eta r{)}^{1/2}}\cdot \frac{\frac{2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_e}{\hslash {\omega }_c}}{\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_e}{\hslash {\omega }_c}}\cdot e^{\frac{-2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_D}{\hslash {\omega }_c}}\cos \frac{\pi gr{m}^{*}}{2m_0}$

где $\eta =E_F/\hslash {\omega }_c$, $T_D$ — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению $\mathrm{\Gamma }$ уровня как $\pi k_B{T}_D=\mathrm{\Gamma }$, $k_B$ — постоянная Больцмана, $T_e$ — температура электронного газа, $g$ — множитель Ландэ для электрона ($g$-фактор), $m_0$ — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в видеШаблон:Sfn

${\sigma }_{xx}={\sigma }_{0L}(1-\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_r\cos (2\pi \eta r-\frac{\pi }{4}))$

$b_r=(-1{)}^r\frac{1}{(2\eta r{)}^{1/2}}\cdot \frac{\frac{2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_e}{\hslash {\omega }_c}}{\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_e}{\hslash {\omega }_c}}\cdot e^{\frac{-2{\pi }^{2}r{k}_B{T}_D}{\hslash {\omega }_c}}\cos \frac{\pi gr{m}^{*}}{2m_0}$

где ${\sigma }_{0L}=\frac{2e^2\hslash \rho v_s^2}{\pi {\mathrm{\Xi }}^2{k}_{B}T{m}^{*}}\frac{E_F}{3}$ ($\mathrm{\Xi }$ — деформационный потенциал, $v_s$ — скорость звука, $T$ — температура).

Произвольный закон дисперсии

При произвольном законе дисперсии электронов проводимости $\epsilon \left(𝐩\right)$ ($𝐩$ — квазиимпульс) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности $\epsilon \left(𝐩\right)={\epsilon }_F$ (${\epsilon }_F$ — энергия Ферми).

В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена, в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности ${\sigma }_{ik}$ ($i,k=x,y,z$) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния. Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля $𝐄$ на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент ${\sigma }_{xx}$, ${\sigma }_{yy}$ (магнитное поле $𝐇$ направлено вдоль оси $z$) в скрещенных полях ($𝐄\mathrm{\perp }𝐇$) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости $\mathrm{\Delta }{\sigma }_{ii}/{\sigma }_{ii}$ в квазиклассическом приближении имеет порядок:

$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zz}}{{\sigma }_{zz}}\sim \frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{{\sigma }_{xx}}\sim \frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yy}}{{\sigma }_{yy}}\sim {\nu }^{-1}\left({\epsilon }_F\right)\sum _m{\left(\frac{m_c{S}_m}{H}\right)}^2\frac{\partial M_{osc}}{\partial H}$,

где $\nu \left({\epsilon }_F\right)$ — плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми; $m_c=\frac{1}{2\pi }\frac{\partial S_m}{\partial {\epsilon }_F}$ — циклотронная масса электрона; $S_m({\epsilon }_F)$ — площади экстремальных сечений ($\partial S_m/\partial p_H=0$) поверхности Ферми плоскостями $p_H=const$, где $p_H$ — проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля; $M_{osc}$ — осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу $m$ проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича

$M_{osc}\simeq -A_{LK}\sin (\frac{c}{e\hslash H}{S}_m\mp \frac{\pi }{4}-2\pi \gamma )\cos \left(\pi \frac{m_c}{m_0}\right);$

где

$A_{LK}=\frac{V}{{\pi }^2\sqrt{2\pi }{\hslash }^3}{\left(\frac{e\hslash }{c}\right)}^{3/2}\frac{S_m\sqrt{H}}{{\left|{}^{{\partial }^2{S}_m}╱{}_{\partial p_H^2}\right|}^{1/2}\partial S_m/\partial {\epsilon }_F}\mathrm{\Psi }\left(\frac{2{\pi }^{2}T}{\hslash {\omega }_c}\right)$.

Формула справедлива при выполнении неравенств:

$T\ll \frac{\hslash eH}{m_{c}c}\ll {\epsilon }_F;\frac{e\hslash H}{2m_{0}c}\ll {\epsilon }_F;$

где $V$ — объём металла, $\mathrm{\Psi }\left(z\right)=z/\sinh z$, $T$ — температура, $m_0$ — масса свободного электрона, ${\omega }_c=\frac{eH}{m_{c}c}$ — циклотронная частота, $\gamma <1$, постоянная Больцмана $k_B=1$.

Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{H}\right)=\frac{2\pi e\hslash }{c{S}_m}$.

См. также

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)
• Эффект де Гааза — ван Альфена

Литература

• Шаблон:Книга